Bài tập 5, § 13

Các ký hiệu là các ký hiệu của no. 1.IV, kiểu $A_l$. Hãy chứng minh rằng, nếu $n$ là $\geq 0,\mathbf{S}^n\sigma$ là một biểu diễn bất khả quy của $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(l+ 1, k)$ có trọng số cao nhất $n\varpi_1$. (Thực hiện $\mathbf{S}^n\sigma$ trên không gian các đa thức thuần nhất bậc $n$ theo $X_0, . . . ,X_l$, và nhận xét rằng, sai khác một phép vị tự, đa thức duy nhất $f$ sao cho $\partial f /\partial X_i= 0$ với $i\geq 1$ là $X^n_0.$) Hãy chứng minh rằng tất cả các trọng số của biểu diễn này có bội số 1.