Bài tập 7, § 2

Giả sử rằng $k$ là một trường có thứ tự. Cho $(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$ là một đại số Lie nửa đơn tách hạng $l$; đặt dim$\mathfrak{g}=l+ 2m$.

a) Hãy chỉ ra rằng dạng Killing $\Phi$ của $\mathfrak{g}$ là tổng trực tiếp của một dạng trung hòa hạng $2m$ và một dạng dương không suy biến hạng $l$; đặc biệt, chỉ số của nó là $m$.

b) Cho $\varphi$ là một tự đẳng cấu đối hợp của $\mathfrak{g}$ mà hạn chế của nó trên $\mathfrak{h}$ là $-$Id. Hãy chỉ ra rằng dạng

$^{10}$Để có một phép tính tường minh của biệt thức này, xem: T. A. SPRINGER and R.

STEINBERG, Conjugacy Classes (no. 4.8), Seminar on Algebraic Groups and

Related Finite Groups, Lect. Notes in Math. 131, Springer-Verlag (1970).

là đối xứng, không suy biến, và dương.

c) Cho $k=k(\overline{\alpha})$, trong đó $\alpha$ là một phần tử $<0$ của $k$. Ký hiệu $c$ là $k$-tự đẳng cấu không tầm thường của $k'$. Gọi $\mathfrak{g}_c$ là không gian con trên $k$ của $\mathfrak{g}_{(k')}=k'\otimes_k\mathfrak{g}$ tạo bởi các phần tử $y$ sao cho

Hãy chỉ ra rằng $\mathfrak{g}_c$ là một đại số con Lie trên $k$ của $\mathfrak{g}_{(k')}$ và rằng đơn ánh của $\mathfrak{g}_c$ vào $\mathfrak{g}_{(k')}$ kéo dài thành một đẳng cấu từ$\surd k'\otimes_k\mathfrak{g}_c$ tới $\mathfrak{g}_{(k')}$. Đại số $\mathfrak{g}_c$ là nửa đơn, và $\alpha \mathfrak{h}$ là một đại số con Cartan của nó.

d) Hãy chỉ ra rằng dạng Killing của $\mathfrak{g}_c$ là âm. Suy ra rằng $\mathfrak{g}_c$ không tách được (trừ khi $\mathfrak{g}= 0$).

e) Khi $k=\mathbf{R}$, hãy chỉ ra rằng Int($\mathfrak{g}_c$) là compắc.