Bài tập 10, § 3

Cho $\mathfrak{a}$ là một đại số Lie nửa đơn, và $x$ là một phần tử của $\mathfrak{a}$. Ta nói rằng $x$ là chéo hóa được nếu ad $x$ là chéo hóa được (Đại số, Chương VII), nói cách khác, nếu tồn tại một cơ sở của $\mathfrak{a}$ gồm các vectơ riêng của ad $x$.

a) Cho $\mathfrak{c}$ là một đại số con giao hoán của $\mathfrak{a}$ gồm các phần tử chéo hóa được, và cho L là tập hợp các trọng của $\mathfrak{c}$ trong biểu diễn ad$_{\mathfrak{a}}$. Tập hợp L là một tập con hữu hạn của $\mathfrak{c}^*$ chứa 0 (trừ khi $\mathfrak{a}= 0$) và $\mathfrak{a}=\bigoplus_{\lambda\in L}\mathfrak{a}^{\lambda}(\mathfrak{c})$. Chứng minh rằng tồn tại một tập con M của L sao cho L -- $\{0\}$ là hợp rời nhau của M và $-M$, và sao cho $(M + M)\cap L\subset M$. Nếu M có các tính chất này, đặt $\mathfrak{a}^M=\bigoplus_{\lambda\in M}\mathfrak{a}^{\lambda}(\mathfrak{c})$, và $\mathfrak{p}^M=\mathfrak{a}^0(\mathfrak{c})\oplus \mathfrak{a}^M$. Đại số $\mathfrak{a}^0(\mathfrak{c})$ là hoán tập của $\mathfrak{c}$ trong $\mathfrak{a}$; nó là khả quy trong $\mathfrak{a}$ (Chương VII, §1, no. 5), và các đại số con Cartan của nó là các đại số con Cartan của $\mathfrak{a}$ (Chương VII, §2, no. 3). Chứng minh rằng $\mathfrak{p}^M$ là một

$^{11}$Bài tập này được A. JOSEPH truyền đạt cho chúng tôi. đại số con parabolic của $\mathfrak{a}$, và rằng $\mathfrak{a}^M$ là tập hợp các phần tử lũy linh của căn của $\mathfrak{p}^M$. (Sử dụng sự kiện rằng $\mathfrak{c}$ được chứa trong một đại số con Cartan của $\mathfrak{a}$ và rút gọn, bằng mở rộng vô hướng, về trường hợp trong đó đại số con này là tách.)

b) Giữ lại các giả thiết và ký hiệu của a), và giả sử thêm rằng $\mathfrak{a}$ là tách được. Chứng minh rằng $\mathfrak{c}$ được chứa trong một đại số con Cartan tách của $\mathfrak{a}$. (Lấy một đại số con Cartan tách $\mathfrak{h}$ của $\mathfrak{a}$ được chứa trong $\mathfrak{p}^M$; khi đó tồn tại duy nhất một đại số con Cartan $\mathfrak{h}'$ của $\mathfrak{a}^0(\mathfrak{c})$ sao cho $\mathfrak{h}$ được chứa trong $\mathfrak{h}'\oplus \mathfrak{a}^M$; chứng minh rằng $\mathfrak{h}'$ là một đại số con Cartan tách của $\mathfrak{a}$, và rằng $\mathfrak{h}'$ chứa $\mathfrak{c}$. )