Bài tập 3, § 4

Cho $(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$ là một đại số Lie nửa đơn tách, R là hệ nghiệm tương ứng, và B là một cơ sở của R. Với mọi $\alpha \in B$ (tương ứng, với mọi cặp $(\alpha , \beta )\in B^2$), gọi $R(\alpha )$ (tương ứng, $R(\alpha , \beta )$) là tập con đóng của R tạo bởi các $\pm \alpha$ (tương ứng, tập con đóng nhỏ nhất của R chứa $\pm \alpha$ và $\pm \beta$). Gọi $\mathfrak{g}(\alpha )$ (tương ứng, $\mathfrak{g}(\alpha , \beta )$) là đại số dẫn xuất của đại số $\mathfrak{h}+\mathfrak{g}^{R(\alpha)}$ (tương ứng, $\mathfrak{h}+\mathfrak{g}^{R(\alpha ,\beta)}$), xem §3.

a) Chứng minh rằng $\mathfrak{g}(\alpha ) =kH_{\alpha}\oplus \mathfrak{g}^{\alpha}\oplus \mathfrak{g}^{-\alpha}$; nó đẳng cấu với $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$.

b) Chứng minh rằng $\mathfrak{g}(\alpha , \beta )$ là nửa đơn, và nó được sinh bởi $\mathfrak{g}(\alpha )$ và $\mathfrak{g}(\beta )$. Hệ nghiệm của nó có thể được đồng nhất với $R(\alpha , \beta )$.

c) Cho $\mathfrak{s}$ là một đại số Lie (không nhất thiết hữu hạn chiều). Với mọi $\alpha \in B$, gọi $f_{\alpha}$ là một đồng cấu từ $\mathfrak{g}(\alpha )$ vào $\mathfrak{s}$. Giả sử rằng, với mọi cặp $(\alpha , \beta )$, tồn tại một đồng cấu $f_{\alpha \beta}:\mathfrak{g}(\alpha , \beta )\rightarrow \mathfrak{s}$ mở rộng cả $f_{\alpha}$ và $f_{\beta}$. Chứng minh rằng, trong trường hợp đó, tồn tại một đồng cấu duy nhất $f:\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{s}$ mở rộng các $f_{\alpha}$. (Dùng Mệnh đề 4 (i).)