Bài tập 11, § 5

Với các ký hiệu của no. 2, giả sử rằng $k$ là không rời rạc và địa phương compact, do đó đẳng cấu với $\mathbf{R},\mathbf{C}$ hoặc một mở rộng hữu hạn của $\mathbf{Q}_p($đại số giao hoán, Chương VI, §9, no. 3). Với mọi $n\geq 1$, thương $k^*/k^{*n}$ là hữu hạn (xem đại số giao hoán, Chương VI, §9, Bài tập 3 cho trường hợp ultrametric). Suy ra rằng các thương $T_Q/$Im(T$_P$) và Aut($\mathfrak{g}$)$/$Aut$_e(\mathfrak{g})$ là hữu hạn.

Khi $k=\mathbf{R}$, chứng minh rằng $T_Q/$Im(T$_P$) đẳng cấu với đối ngẫu của không gian vectơ $\mathbf{F}_2$ $(Q\cap 2P)/2Q$. Khi $k=\mathbf{C}$, ta có $T_Q=$ Im(T$_P$); đây là nhóm con nguyên của nhóm Lie Aut($\mathfrak{g}$) có đại số Lie $\mathfrak{h}$.