Bài tập 13, § 5

Cho $(\mathfrak{g},\mathfrak{h},B,(X_{\alpha})_{\alpha\in B})$ là một đại số Lie nửa đơn có khung, R là hệ nghiệm của $(\mathfrak{g},\mathfrak{h}),\Delta$ là đồ thị Dynkin tương ứng, và $\Phi$ là một nhóm con của

$^{13}$Để biết thêm chi tiết về bài tập này, xem: J. TITS, Normalisateurs de tores. I. Groupes

de Coxeter étendus, J. Alg., Vol. IV (1966), pp. 96-116.

Aut(R$,B$) $=$ Aut($\Delta$ ).

Nếu $s\in \Phi$, mở rộng $s$ thành một tự đẳng cấu của $\mathfrak{g}$ bởi các điều kiện

$s(X_{\alpha}) =X_{s\alpha}$, và $s(H_{\alpha}) =H_{s\alpha}$ với mọi $\alpha \in B$, cf. Prop$.1$.

Do đó ta đồng nhất $\Phi$ với một nhóm con của Aut($\mathfrak{g},\mathfrak{h}$); ký hiệu $\widetilde{\mathfrak{g}}$ (tương ứng $\widetilde{\mathfrak{h}}$) là đại số con của $\mathfrak{g}$ (tương ứng $\mathfrak{h}$) gồm các phần tử bất biến dưới $\Phi$.

a) Cho $\alpha \in B$, và cho $X =\Phi .\alpha$. Hãy chỉ ra, bằng cách sử dụng các Bảng trong Chương VI, rằng chỉ có hai trường hợp có thể xảy ra:

(i) mọi phần tử của X phân biệt với $\alpha$ đều trực giao với $\alpha$;

(ii) tồn tại một phần tử duy nhất $\alpha '$ của X-- $\{\alpha \}$ không trực giao với $\alpha$, và $n(\alpha , \alpha ') =n(\alpha ', \alpha ) =-1$.

b) Cho $i$ là ánh xạ hạn chế $\mathfrak{h}^*\rightarrow \widetilde{\mathfrak{h}}^*$, và cho $\widetilde{B} =i(B)$; ánh xạ $B\rightarrow \widetilde{B}$ đồng nhất $\widetilde{B}$ với $B/\Phi$. Hãy chỉ ra rằng $\widetilde{\mathfrak{g}}$ là một đại số Lie nửa đơn, rằng $\widetilde{\mathfrak{h}}$ là một đại số con Cartan tách của nó, và rằng $\widetilde{B}$ là một cơ sở của $R(\widetilde{\mathfrak{g}},\widetilde{\mathfrak{h}})$. (Lưu ý rằng $\widetilde{B}$ được chứa trong $R(\widetilde{\mathfrak{g}},\widetilde{\mathfrak{h}})$, và rằng mọi phần tử của $R(\widetilde{\mathfrak{g}},\widetilde{\mathfrak{h}})$ là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử của $\widetilde{B}$ với các hệ số nguyên cùng dấu.) Nếu $\widetilde{\alpha}\in \widetilde{B}$, nghiệm nghịch đảo tương ứng $H_{\widetilde{\alpha}}\in \widetilde{\mathfrak{h}}$ được cho bởi

$H_{\widetilde{\alpha}}=\sum_{i(\alpha)=\widetilde{\alpha}}H_{\alpha}$ trong trường hợp (i) của a)

$H_{\widetilde{\alpha}}= 2\sum_{i(\alpha)=\widetilde{\alpha}}H_{\alpha}$ trong trường hợp (ii) của a),

trong đó tổng được lấy trên các phần tử $\alpha \in B$ sao cho $i(\alpha ) = \widetilde{\alpha}$. Nếu $\beta \in B$ có ảnh $\widetilde{\beta}\in \widetilde{B}$, thì

$n( \widetilde{\beta ,}\widetilde{\alpha}) =\sum_{i(\alpha)=\widetilde{\alpha}}n(\beta , \alpha )$ trong trường hợp (i)

$n( \widetilde{\beta ,}\widetilde{\alpha}) = 2\sum_{i(\alpha)=\widetilde{\alpha}}n(\beta , \alpha )$ trong trường hợp (ii).

Suy ra đồ thị Dynkin của $R(\widetilde{\mathfrak{g}},\widetilde{\mathfrak{h}})$ được xác định như thế nào khi xuất phát từ cặp $(\Delta , \Phi )$.

c) Chỉ ra rằng, nếu $\mathfrak{g}$ là đơn, thì $\widetilde{\mathfrak{g}}$ cũng đơn.

Nếu $\mathfrak{g}$ có kiểu $A_l,l\geq 2$, và $\Phi$ có cấp 2, thì $\widetilde{\mathfrak{g}}$ có kiểu $B_{l/2}$ nếu $l$ là chẵn, và có kiểu $C_{(l+1)/2}$ nếu $l$ là lẻ.

Nếu $\mathfrak{g}$ có kiểu $D_l,l\geq 4$, và $\Phi$ có cấp 2, thì $\widetilde{\mathfrak{g}}$ có kiểu $B_{l-1}$.

Nếu $\mathfrak{g}$ có kiểu $D_4$, và $\Phi$ có cấp 3 hoặc 6, thì $\widetilde{\mathfrak{g}}$ có kiểu $G_2$.

Nếu $\mathfrak{g}$ có kiểu $E_6$, và $\Phi$ có cấp 2, thì $\widetilde{\mathfrak{g}}$ có kiểu $F_4$.