Bài tập 4, § 6

Ta dùng các ký hiệu của no. 4.

a) Cho $m\in \mathbf{N}$. Trang bị cho $\mathbf{N}^m$ thứ tự tích. Hãy chỉ ra rằng, với mọi tập con S của $\mathbf{N}^m$, tập hợp các phần tử cực tiểu của S là hữu hạn.

b) Cho $\alpha_1, . . . , \alpha_m$ là các phần tử phân biệt của $R,X_i\in \mathfrak{g}^{\alpha_i}$ -- $\{0\}, S$ là tập hợp các dãy khác không $(p_i)\in \mathbf{N}^m$ sao cho $\sum p_i\alpha_i= 0, M$ là tập hợp các phần tử cực tiểu của S. Khi đó $\mathfrak{h}$ và các $X_1^{p_1}. . . X_m^{p_m}$, trong đó $(p_1, . . . , p_m)\in M$, sinh đại số $U^0$.

c) Hãy chỉ ra rằng $U^0$ vừa là một đại số Noether trái vừa là một đại số Noether phải. (Trang bị cho $U^0$ bộ lọc cảm sinh bởi bộ lọc của $U(\mathfrak{g})$, và hãy chỉ ra, bằng cách dùng $a$) và b), rằng gr $U^0$ là giao hoán và kiểu hữu hạn.)

d) Hãy chỉ ra rằng, với mọi $\lambda \in \mathfrak{h}^*, U^{\lambda}$ là một $U^0$-môđun trái (tương ứng phải) kiểu hữu hạn.

e) Cho V là một $\mathfrak{g}$-môđun đơn sao cho $V =\bigoplus_{\lambda\in\mathfrak{h}^*}V_{\lambda}$. Nếu một trong các $V_{\lambda}\not= 0$

là hữu hạn chiều, thì mọi $V_{\lambda}$ đều hữu hạn chiều. (Dùng $d$)$.)$