(i) $\mathfrak{b}_+v\subset kv$;

(ii) $\mathfrak{h}v\subset kv$ và $\mathfrak{n}_+v= 0$;

(iii) $\mathfrak{h}v\subset kv$ và $\mathfrak{g}^{\alpha}v= 0$ với mọi $\alpha \in B$.

(i) $=\Rightarrow$ (ii): Giả sử rằng $\mathfrak{b}_+v\subset kv$. Tồn tại $\lambda \in \mathfrak{h}^*$ sao cho $v\in V^{\lambda}$. Cho $\alpha \in R_+$. Khi đó $\mathfrak{g}^{\alpha}.v\subset V^{\lambda}\cap V^{\lambda+\alpha}= 0$. Do đó $\mathfrak{n}_+v= 0$.

(ii) $=\Rightarrow$ (iii): Điều này hiển nhiên.

(iii) $=\Rightarrow$ (i): Điều này suy ra từ việc $(X_{\alpha})_{\alpha\in B}$ sinh ra $\mathfrak{n}_+($§3, no. 3, Mệnh đề 9 (iii)).

(i) Nếu $U(\mathfrak{n}_-)$ ký hiệu đại số bao đóng của $\mathfrak{n}_-$, thì ta có $V = U(\mathfrak{n}_-).v$.

(ii) Với mọi $\lambda \in \mathfrak{h}^*,V^{\lambda}$ là tập hợp các $x\in V$ sao cho $Hx=\lambda (H)x$ với mọi $H\in \mathfrak{h}$. Ta có $V =\bigoplus_{\lambda\in\mathfrak{h}^*}V^{\lambda}$, và mỗi $V^{\lambda}$ đều hữu hạn chiều. Không gian

$V^{\omega}$ có chiều 1, và mọi trọng số của V đều có dạng $\omega -\sum_{\alpha\in B}n_{\alpha}.\alpha$, trong đó các $n_{\alpha}$ là những số nguyên $\geq 0$.

(iii) V là một $\mathfrak{g}$-môđun không phân tích được, và hoán tập của nó chỉ gồm các vô hướng.

(iv) Gọi $U(\mathfrak{g})$ là đại số bao của $\mathfrak{g}$, và $\mathscr{Z}$ là tâm của $U(\mathfrak{g})$. Tồn tại một đồng cấu duy nhất $\chi$ từ $\mathscr{Z}$ vào $k$ sao cho, với mọi $z\in \mathscr{Z}$, $z_V$ là phép vị tự có tỉ số $\chi (z)$.

Gọi $U(\mathfrak{b}_+)$ là đại số bao của $\mathfrak{b}_+$. Ta có $U(\mathfrak{g}) = U(\mathfrak{n}_-).U(\mathfrak{b}_+)$ (Chương I, §2, no. 7, Hệ quả 6 của Định lý 1). Do đó

Ký hiệu bởi $\alpha_1, . . . , \alpha_n$ các phần tử phân biệt của $R_+$. Khi đó

là một cơ sở của $U(\mathfrak{n}_-)$, nên

V = $\sum kX_{-\alpha_1}^{p_1}. . . X_{-\alpha_n}^{p_n}v$. (1)

$(p_1,...,p_n)\in \mathbf{N}^n$

Với $\lambda \in \mathfrak{h}^*$, đặt

$(p_1,...,p_n)\in \mathbf{N}^n, \omega -p_1\alpha_1-\cdot \cdot \cdot -p_n\alpha_n=\lambda$

Theo Chương VII, §1, no. 1, Mệnh đề 2 (ii), nếu $h\in \mathfrak{h},h_V|T_{\lambda}$ là phép vị tự với tỉ số $\lambda (h)$. Vậy $T_{\lambda}\subset V^{\lambda}$. Mặt khác, (1) kéo theo rằng

V = $\sum T_{\lambda}$.

$\lambda \in \omega -\mathbf{N}\alpha_1-\cdot \cdot \cdot -\mathbf{N}\alpha_n$

Tổng của các $V^{\lambda}$ là trực tiếp (Chương VII, §1, no. 1, Mệnh đề 3). Từ những nhận xét này suy ra rằng $V^{\lambda}= T_{\lambda}$, rằng V là tổng trực tiếp của các $V^{\lambda}$, và rằng $V^{\lambda}$ là tập hợp các $x\in V$ sao cho $hx=\lambda (h)x$ với mọi $h\in \mathfrak{h}$. Mặt khác, chiều của $V^{\lambda}$ nhiều nhất bằng lực lượng của tập hợp các $(p_1, . . . , p_n)\in \mathbf{N}^n$ sao cho $p_1\alpha_1+\cdots +p_n\alpha_n=\omega -\lambda$. Điều này chứng tỏ rằng $V^{\lambda}= 0$ nếu $\omega -\lambda \notin \sum_{\alpha\in B}\mathbf{N}\alpha$,

rằng chiều của $V^{\omega}= 1$, và rằng các $V^{\lambda}$ đều hữu hạn chiều.

Cho $c$ là một phần tử của hoán tập của V. Với mọi $h\in \mathfrak{h}$,

nên $c(v)\in V^{\omega}$; do đó tồn tại $t\in k$ sao cho $c(v) =tv$. Bây giờ, với mọi $(p_1, . . . , p_n)\in \mathbf{N}^n$,

nên $c=t.1$. Vậy hoán tập của V thu về các vô hướng. Điều này suy ra (iv) và rằng V là không phân tích được.

Hiển nhiên là $\varphi (e)\in X^{\omega}_{\pi}$ với mọi $\varphi \in \Phi$. Nếu $\varphi \in \Phi$ và $\varphi (e) = 0$, thì $\varphi = 0$ vì $e$ sinh $\mathfrak{g}$-môđun V. Ta chứng minh rằng, nếu $f$ là một phần tử khác không của $X^{\omega}_{\pi}$, thì tồn tại $\varphi \in \Phi$ sao cho $\varphi (e) =f$. Gọi $X'$ là môđun con của X sinh bởi $f$. Theo Mệnh đề $1, X'$ là không phân tích được, do đó là đơn vì X là nửa đơn. Phần tử $(e, f)$ là nguyên thủy trong $\mathfrak{g}$-môđun $V\times X$. Gọi N là môđun con của $V\times X$ sinh bởi $(e, f)$. Khi đó $N\cap X\subset$ pr$_2(N) = X'$, nên $N\cap X = 0$ hoặc $X'$; nếu $N\cap X = X', N$ chứa các phần tử độc lập tuyến tính $(e, f)$ và $(0, f)$ là nguyên thủy có trọng số $\omega$; điều này vô lý (Mệnh đề 1), nên $N\cap X = 0$. Do đó pr$_1|N$ là một ánh xạ đơn ánh $h$ từ N vào V; ánh xạ này là toàn ánh vì ảnh của nó chứa $e$. Vậy $\varphi =$ pr$_2\circ h^{-1}$ là một đồng cấu từ $\mathfrak{g}$-môđun V vào $\mathfrak{g}$-môđun X sao cho $\varphi (e) =f$.

(i) mọi trọng số của V đều có dạng $\omega -\mu$ trong đó $\mu$ là một trọng số căn $\geq 0$;

(ii) $\omega$ là trọng số cao nhất của V;

(iii) với mọi $\alpha \in B,\omega +\alpha$ không là một trọng số của V;

(iv) tồn tại một phần tử nguyên thủy có trọng số $\omega$.

(i) $=\Rightarrow$ (ii) $=\Rightarrow$ (iii): Điều này là hiển nhiên.

(iii) $=\Rightarrow$ (iv): Giả sử rằng điều kiện (iii) được thỏa mãn. Với mọi $h\in \mathfrak{h}$,

Ker($h_V-\omega (h)$)

là khác không, được chứa trong $V^{\omega}$, và ổn định dưới tác dụng của $\mathfrak{h}_V$. Bằng quy nạp theo dim $\mathfrak{h}$, ta thấy rằng tồn tại một $v$ khác không trong $V^{\omega}$ sao cho $\mathfrak{h}v\subset kv$. Điều kiện (iii) suy ra $\mathfrak{n}_+v= 0$, nên $v$ là nguyên thủy.

(iv) $=\Rightarrow$ (i): Cho $v$ là một phần tử nguyên thủy có trọng số $\omega$. Vì V là đơn, V được sinh bởi $v$ như một $\mathfrak{g}$-môđun. Mệnh đề (i) khi đó suy ra từ Mệnh đề 1.

Điều phải chứng minh.

Vì thế, đối với mọi $\mathfrak{g}$-môđun đơn, sự tồn tại của một phần tử nguyên thủy là tương đương với sự tồn tại của một trọng số cao nhất, hoặc với sự tồn tại của một trọng số cực đại. Có những $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2,\mathbf{C}$)-môđun đơn V không có trọng số nào đối với bất kỳ đại số con Cartan $\mathfrak{h}$ nào của $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2,\mathbf{C}) ($§1, Bài tập $14f))$. Các môđun này có chiều vô hạn trên $\mathbf{C}($§1, no. 3, Định lý 1).

(i) Các phần tử nguyên thủy của V là các phần tử khác không của $V^{\omega}$.

(ii) V là nửa đơn như một $\mathfrak{h}$-môđun.

(iii) Ta có $V =\bigoplus_{\lambda\in\mathfrak{h}^*}V^{\lambda}$. Với mọi $\lambda \in \mathfrak{h}^*,V^{\lambda}$ là hữu hạn chiều. Ta

có dim $V^{\omega}= 1$.

(iv) $\mathfrak{g}$-môđun V là đơn tuyệt đối.

Các mệnh đề (i), (ii) và (iii) suy ra từ Mệnh đề 1 và Bổ đề 2. Mệnh đề (iv) suy ra từ Mệnh đề 1 (iii) và Đại số, Chương VIII, §7, no. 3.

Điều này suy ra từ (iv), xem Đại số, Chương VIII, §3, no. 3.

Gọi $X''$ là môđun con của X sinh bởi $X^{\omega}_{\pi}$. Rõ ràng mọi môđun con của X đẳng cấu với V đều được chứa trong $X''$. Do đó $X'\subset X''$. Mặt khác, gọi $\Phi$ là tập hợp các đồng cấu từ $\mathfrak{g}$-môđun V tới $\mathfrak{g}$-môđun X. Độ dài của $X'$ là dim$_k\Phi ($Đại số, Chương VIII, §4, no. 4), tức là dim$_kX^{\omega}_{\pi}$ (Mệnh đề 2).

(ii) Đặt $Z^+(\lambda ) =\sum_{\lambda\not=\mu}Z(\lambda )^\mu$. Mọi môđun con của $Z(\lambda )$ phân biệt với $Z(\lambda )$

đều được chứa trong $Z^+(\lambda )$.

(iii) Tồn tại một môđun con lớn nhất $F_{\lambda}$ của $Z(\lambda )$ phân biệt với $Z(\lambda )$. Môđun thương $Z(\lambda )/F_{\lambda}$ là đơn và có trọng số cao nhất $\lambda$.

Rõ ràng là $e$ sinh ra $\mathfrak{g}$-môđun $Z(\lambda )$. Nếu $x\in \mathfrak{b}_+$,

do đó suy ra (i).

$\mathfrak{h}$-môđun $Z(\lambda )$ là nửa đơn (Mệnh đề 1). Nếu G là một $\mathfrak{g}$-môđun con của $Z(\lambda )$, thì $G =\sum_{\mu\in\mathfrak{h}^*}(G\cap Z(\lambda )^\mu)$. Giả thiết $G\cap Z(\lambda )^{\lambda}\not= 0$ kéo theo

rằng $G = Z(\lambda )$, vì dim $Z(\lambda )^{\lambda}= 1$ và $e$ sinh ra $\mathfrak{g}$-môđun $Z(\lambda )$. Nếu $G\not= Z(\lambda )$, thì $G =\sum_{\mu\not=\lambda}G\cap Z(\lambda )^\mu\subset Z^+(\lambda )$.

Gọi $F_{\lambda}$ là tổng của các môđun con $\mathfrak{g}$ của $Z(\lambda )$ phân biệt với $Z(\lambda )$. Theo (ii), $F_{\lambda}\subset Z^+(\lambda )$. Do đó $F_{\lambda}$ là môđun con lớn nhất của $Z(\lambda )$ phân biệt với $Z(\lambda )$. Rõ ràng $Z(\lambda )/F_{\lambda}$ là đơn và ảnh chính tắc của $e$ trong $Z(\lambda )/F_{\lambda}$ là nguyên thủy có trọng số $\lambda$.

Trong phần còn lại của chương này, $\mathfrak{g}$-môđun $Z(\lambda )/F_{\lambda}$ của Mệnh đề 5 sẽ được ký hiệu là $E(\lambda )$.

Mệnh đề thứ nhất suy ra từ Mệnh đề 5 (iii). Mệnh đề thứ hai suy ra từ Mệnh đề 4.

(i) Tồn tại một đồng cấu duy nhất của các $\mathfrak{g}$-môđun $\psi : Z(\lambda )\rightarrow V$ sao cho $\psi (e) =v$.

(ii) Giả sử rằng $v$ sinh V. Khi đó $\psi$ là toàn ánh. Hơn nữa, $\psi$ là song ánh khi và chỉ khi, với mọi phần tử khác không $u$ của $U(\mathfrak{n}_-),u_V$ là đơn ánh.

(iii) Ánh xạ $u \rightarrow u\otimes 1$ từ $U(\mathfrak{n}_-)$ vào $Z(\lambda )$ là song ánh.

Cho K là hạt nhân của biểu diễn của $U(\mathfrak{b}_+)$ trên $L_{\lambda}$; nó có đối chiều 1 trong $U(\mathfrak{b}_+)$. Đặt $J = U(\mathfrak{g})K$ là iđêan trái của $U(\mathfrak{g})$ sinh bởi K; khi đó $L_{\lambda}$ có thể được đồng nhất với $U(\mathfrak{b}_+)/K$ như một $U(\mathfrak{b}_+$)-môđun trái, và $Z(\lambda )$ có thể được đồng nhất với $U(\mathfrak{g})/J$ như một $U(\mathfrak{g}$)-môđun trái. Ta có $K.v= 0$, nên $J.v= 0$, điều này chứng minh (i).

Bây giờ giả sử rằng $v$ sinh ra V. Rõ ràng là $\psi$ toàn ánh.

Theo định lý Poincaré-Birkhoff-Witt (Chương I, §2, no. 7, Hệ quả 6 của Định lý 1), một cơ sở của $U(\mathfrak{n}_-)$ trên $k$ cũng là một cơ sở của $U(\mathfrak{g})$ như một môđun phải trên $U(\mathfrak{b}_+)$. Do đó ánh xạ $\varphi :u \rightarrow u\otimes 1$ từ $U(\mathfrak{n}_-)$ đến $U(\mathfrak{g})\otimes_{U(\mathfrak{b}_+)}L_{\lambda}$ là song ánh. Cho $u\in U(\mathfrak{n}_-)$. Khi đó $\varphi^{-1}\circ u_{Z(\lambda)}\circ \varphi$ là phép nhân trái bởi $u$ trên $U(\mathfrak{n}_-)$. Theo Chương I, §2, no. 7, Hệ quả 7 của Định lý $1,u_{Z(\lambda)}$ là đơn ánh nếu $u\not= 0$. Do đó, nếu $\psi$ là song ánh, thì $u_V$ là đơn ánh đối với $u$ khác không trong $U(\mathfrak{n}_-)$.

Giả sử rằng $\psi$ không đơn ánh. Tồn tại $u\in U(\mathfrak{n}_-)$ sao cho $u\not= 0$ và $\psi (\varphi (u)) = 0$. Khi đó

Đặt $m=\lambda (H_{\alpha})$. Cho $x= X^{m+1}_{-\alpha}.e\in Z(\lambda )$, và gọi V là môđun con của $Z(\lambda )$ sinh bởi $x$. Khi đó $x\not= 0$ (Mệnh đề 6). Mặt khác, $x\in Z(\lambda )^{\lambda-(m+1)\alpha}$. Với $\beta \in B$ và $\beta \not=\alpha , [\mathfrak{g}^{-\alpha},\mathfrak{g}^{\beta}] = 0$ và $\mathfrak{g}^{\beta}.e= 0$, nên $\mathfrak{g}^{\beta}.x= 0$. Sau cùng, vì $[X_{\alpha},X_{-\alpha}] =-H_{\alpha}$, ta có

(§1, no. 1, Bổ đề 1 (ii)), nên

Vậy $x$ là nguyên thủy có trọng số $\lambda -(m+ 1)\alpha$. Theo Mệnh đề 6, $\mathfrak{g}$-môđun V đẳng cấu với $Z(-\alpha +\lambda -m\alpha ) = Z(-\alpha +s_{\alpha}\lambda )$.

Mệnh đề là hiển nhiên khi $w= 1$. Giả sử rằng nó đã được thiết lập mỗi khi $w$ có độ dài $< q$. Nếu $w$ có độ dài $q$, tồn tại $\alpha \in B$ sao cho $w=s_{\alpha}w^{'-1}$, với $l(w') =q-1$. Ta có $w'(\alpha )\in R_+$ (Chương VI, §1, no. 6, Hệ quả 2 của Mệnh đề 17), và do đó $w^{'-1}(\lambda +\rho )(H_{\alpha}) = (\lambda +\rho )(H_{w'\alpha})$ là một số nguyên $\geq 0$. Đặt

Theo giả thiết quy nạp, $Z(\mu')$ đẳng cấu với một môđun con của $Z(\lambda )$. Mặt khác, theo Chương VI, §1, no. 10, Mệnh đề 29 (ii),

Hơn nữa, $\rho (H_{\alpha}) = 1$ (Chương VI, §1, Mệnh đề 29 (iii)), nên $\mu'(H_{\alpha})+1\in \mathbf{N}$. Hệ quả 1 khi đó kéo theo rằng $Z(\mu)$ đẳng cấu với một môđun con của $Z(\mu')$, và do đó cũng với một môđun con của $Z(\lambda )$.

(i) Ta có $L = (U\mathfrak{n}_+)\cap U^0$, và L là một iđêan hai phía của $U^0$.

(ii) Ta có $U^0= V\oplus L$.

Hiển nhiên $\mathfrak{n}_-U$ (tương ứng, $U\mathfrak{n}_+$) là tập hợp các tổ hợp tuyến tính của các phần tử $u((q_i),(m_i),(p_i))$ sao cho $\sum q_i>0$ (tương ứng, $\sum p_i>0$). Mặt khác

Điều này kéo theo $(\mathfrak{n}_-U)\cap U^0= (U\mathfrak{n}_+)\cap U^0$. Sau cùng, $(\mathfrak{n}_-U)\cap U^0$ (resp. $(U\mathfrak{n}_+)\cap U^0$) là một iđêan phải (resp. trái) của $U^0$, do đó suy ra (i). Hơn nữa, một phần tử $u((q_i),(m_i),(p_i))$ thuộc $U^0$ thuộc về V (resp. thuộc về L) khi và chỉ khi $p_1=\cdots =p_n=q_1=\cdots =q_n= 0$ (resp. $p_1+\cdots +p_n+q_1+\cdots +q_n>0$), do đó suy ra (ii). Q.E.D.

Theo Bổ đề 3, phép chiếu của $U^0$ lên V với hạt nhân là L là một đồng cấu đại số. Nó được gọi là đồng cấu Harish-Chandra từ $U^0$ vào V (đối với B). Nhắc lại rằng V có thể được đồng nhất với đại số các hàm đa thức trên $\mathfrak{h}^*$.

Cho $v$ là một phần tử nguyên thủy của E có trọng số $\lambda$, và $z$ là một phần tử của tâm của U. Tồn tại $u_1, . . . , u_p\in U$ và $n_1, . . . , n_p\in \mathfrak{n}_+$ sao cho $z=\varphi (z) +u_1n_1+\cdots +u_pn_p$. Khi đó

Ta nhắc lại các ký hiệu của §2, no. 3, Mệnh đề 6. Ta có

1 1

C = $\sum X_{\alpha}X_{-\alpha}+\sum X_{-\alpha}X_{\alpha}$

1 $'$

do đó

Theo Mệnh đề 7,

1 $'$

Gọi $h_{\lambda}$ là phần tử của $\mathfrak{h}$ sao cho $\langle h_{\lambda}, h\rangle =\lambda (h)$ với mọi $h\in \mathfrak{h}$. Theo §2, no. 2, Mệnh đề 1,

$($ 1 $)\langle$ 1 $\rangle$

$\lambda [X_{\alpha}, X_{-\alpha}]$ = $h_{\lambda},[X_{\alpha}, X_{-\alpha}]=\alpha (h_{\lambda}) =\langle \lambda , \alpha \rangle$.

Do đó