(i) Tất cả các trọng số của V đều thuộc P.

(ii) $V =\bigoplus_{\mu\in P}V^\mu$.

(iii) Với mọi $\mu\in \mathfrak{h}^*,V^\mu$ là tập hợp các $x\in V$ sao cho $h.x=\mu(h)x$ với mọi $h\in \mathfrak{h}$.

Với mọi $\alpha \in B$, tồn tại một đồng cấu từ $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$ vào $\mathfrak{g}$ đưa $H$ thành $H_{\alpha}$. Do đó, theo §1, no. 2, Hệ quả của Mệnh đề $2, (H_{\alpha})_V$ là chéo hóa được và các giá trị riêng của nó là các số nguyên. Vì vậy, tập hợp các $(H_{\alpha})_V$, với $\alpha \in B$, là chéo hóa được (Đại số, Chương VII, §5, no. 6, Mệnh đề 13). Do đó, với mọi $h\in \mathfrak{h},h_V$ là chéo hóa được. Theo Chương VII, §1, no. 3, Mệnh đề $9, V =\bigoplus_{\mu\in\mathfrak{h}^*}V^\mu$. Mặt khác, nếu $V^\mu\not= 0$, điều trên cho thấy rằng $\mu(H_{\alpha})\in \mathbf{Z}$ với mọi $\alpha \in B$, do đó $\mu\in P$. Điều này chứng minh (i) và (ii). Ta thấy theo cùng cách rằng $\mathfrak{h}_V$ là chéo hóa được, do đó (iii).

(i) Nếu $x, y\in \mathfrak{h}_{\mathbf{Q}}$, thì $\Phi (x, y)\in \mathbf{Q}$ và $\Phi (x, x)\in \mathbf{Q}_+$.

(ii) Nếu $\rho$ là đơn ánh, hạn chế của $\Phi$ lên $\mathfrak{h}$ là không suy biến.

Mệnh đề (i) suy ra từ Mệnh đề 1 vì các phần tử của P có các giá trị hữu tỉ trên $\mathfrak{h}_{\mathbf{Q}}$. Nếu $\rho$ là đơn ánh, $\Phi$ là không suy biến (Chương I, §6, no. 1, Mệnh đề 1), do đó hạn chế của $\Phi$ lên $\mathfrak{h}$ là không suy biến (Chương VII, §1, no. 3, Mệnh đề 10 (iii)).

(i) Nếu $a$ là một phần tử lũy linh của $\mathfrak{g}$, và nếu $\rho (a)$ là lũy linh địa phương,

với mọi $b\in \mathfrak{g}$.

(ii) Nếu $\alpha \in R$ và nếu các ảnh qua $\rho$ của các phần tử của $\mathfrak{g}^{\alpha}$ và $\mathfrak{g}^{-\alpha}$ là lũy linh địa phương, tập hợp các trọng số của V là ổn định qua phép phản xạ $s_{\alpha}$.

Với các giả thiết trong (i), ta có $\rho$((ad $a$)$^nb$) $=$ (ad $\rho (a)$)$^n\rho (b)$ với mọi $n\geq 0$, do đó $\rho (e^{ada}b) =e^{ad\rho(a)}\rho (b)$. Mặt khác,

là mệnh đề (ii) của Chương VII, §3, no. 1, Bổ đề 1.

Bây giờ ta chấp nhận các giả thiết trong (ii). Đặt $\theta_{\alpha}=e^{adX_{\alpha}}e^{adX_{-\alpha}}e^{adX_{\alpha}}$. Theo (i), tồn tại $S\in \mathbf{G}\mathbf{L}(V)$ sao cho $\rho (\theta_{\alpha}b) = S\rho (b)S^{-1}$ với mọi $b\in \mathfrak{g}$. Bây giờ $\theta_{\alpha}|\mathfrak{h}$ là chuyển vị của $s_{\alpha}($§2, no. 2, Bổ đề 1). Gọi $\lambda$ là một trọng số của V. Tồn tại một phần tử khác không $x$ của V sao cho $\rho (h)x=\lambda (h)x$ với mọi $h\in \mathfrak{h}$. Khi đó

với mọi $h\in \mathfrak{h}$. Do đó, $s_{\alpha}\lambda$ là một trọng số của V.

(i) Tồn tại $S\in \mathbf{G}\mathbf{L}(V)$ sao cho $(s(x))_V= Sx_VS^{-1}$ với mọi $x\in \mathfrak{g}$.

(ii) Nếu $s\in$ Aut$_e(\mathfrak{g})$, S có thể được chọn là một phần tử của $\mathbf{S}\mathbf{L}(V)$ làm cho tất cả các $\mathfrak{g}$-môđun con của V ổn định.

Mệnh đề (ii) suy ra từ Bổ đề 1 (i). Bây giờ cho $s\in$ Aut$_0(\mathfrak{g})$ và ký hiệu $\rho$ là biểu diễn của $\mathfrak{g}$ được xác định bởi V. Theo (ii), các biểu diễn $\rho$ và $\rho \circ s$ trở nên tương đương sau mở rộng vô hướng. Do đó chúng tương đương (Chương I, §3, no. 8, Mệnh đề 13), suy ra sự tồn tại của S.

Thật vậy, $w$ có dạng $s^*$ với $s\in$ Aut$_e(\mathfrak{g},\mathfrak{h}) ($§2, no. 2, Hệ quả của Định lý 2).

Ta ký hiệu V là một $\mathfrak{g}$-môđun đơn và $\mathscr{X}$ là tập hợp các trọng số của nó.

a) Giả sử rằng V là hữu hạn chiều. Khi đó $\mathscr{X}$ là hữu hạn và không rỗng (Mệnh đề 1) và do đó có một phần tử cực đại $\omega$. Cho $\alpha \in B$. Khi đó $\omega +\alpha \notin \mathscr{X}$, điều này chứng minh rằng $\omega$ là trọng số cao nhất của V (§6, no. 2, Bổ đề 2). Mặt khác, tồn tại một đồng cấu từ $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$ vào $\mathfrak{g}$ đưa $H$ thành $H_{\alpha}$; theo §1, Mệnh đề 2 (i), $\omega (H_{\alpha})$ là một số nguyên $\geq 0$, do đó $\omega \in P_{++}$.

b) Giả sử rằng V có một trọng số cao nhất $\omega \in P_{++}$. Cho $\alpha \in B$ và cho $e$ là một phần tử nguyên thủy có trọng số $\omega$ trong V. Đặt $e_j=X_{-\alpha}^je$ với $j\geq 0$,

$m=\omega (H_{\alpha})\in \mathbf{N}$, và N = $\sum_{j=0}^mke_j$. Theo §1, no. 2, Mệnh đề $1,X_{\alpha}e_{m+1}$ = 0.

Nếu $\beta \in B$ và $\beta \not=\alpha$, thì $[X_{\beta}, X_{-\alpha}] = 0$ nên $X_{\beta}e_{m+1}=X_{\beta}X_{-\alpha}^{m+1}e$ = $X_{-\alpha}^{m+1}X_{\beta}e= 0$. Nếu $e_{m+1}\not= 0$, ta kết luận rằng $e_{m+1}$ là nguyên thủy, điều này là vô lý (§6, Mệnh đề 3 (i)); vậy $e_{m+1}= 0$. Do đó, theo §1, no. 2, Hệ quả của Mệnh đề 1, N ổn định dưới đại số con $\mathfrak{s}_{\alpha}$ được sinh bởi $H_{\alpha}, X_{\alpha}$ và $X_{-\alpha}$. Bây giờ $\mathfrak{s}_{\alpha}$ là khả quy trong $\mathfrak{g}$, nên tổng của các không gian con hữu hạn chiều của V ổn định dưới $\mathfrak{s}_{\alpha}$ là một $\mathfrak{g}$-môđun con của V (Chương I, §6, no. 6, Mệnh đề 7); vì tổng này khác không, nó bằng V. Từ đó suy ra rằng $(X_{\alpha})_V$ và $(X_{-\alpha})_V$ là lũy linh địa phương. Theo Bổ đề 1 (ii), $\mathscr{X}$ ổn định dưới $s_{\alpha}$, và điều này đúng với mọi $\alpha$. Vì vậy $\mathscr{X}$ ổn định dưới W. Bây giờ mọi quỹ đạo của W trên P đều gặp $P_{++}$ (Chương VI, §1, no. 10). Mặt khác, nếu $\lambda \in \mathscr{X}\cap P_{++}$, thì $\lambda =\omega -\sum_{\alpha\in B}n_{\alpha}\alpha =\sum_{\alpha\in B}n'_{\alpha}\alpha$ với $n_{\alpha}\in \mathbf{N}$ và $n'_{\alpha}\geq 0$ với mọi $\alpha \in B$

(Chương V, §3, no. 5, Bổ đề 6). Vậy $\mathscr{X}\cap P_{++}$ là hữu hạn và do đó $\mathscr{X}$ cũng hữu hạn. Vì mỗi trọng số có bội số hữu hạn (§6, no. 1, Mệnh đề 1 (ii)), V là hữu hạn chiều.

Các môđun $\mathfrak{g}$ $E(\lambda )$, trong đó $\lambda$ là một trọng số cơ bản, được gọi là các môđun $\mathfrak{g}$ cơ bản; các biểu diễn tương ứng được gọi là các biểu diễn cơ bản của $\mathfrak{g}$; chúng là bất khả quy tuyệt đối (§6, no. 2, Mệnh đề 3 (iv)).

Nếu V là một môđun $\mathfrak{g}$ hữu hạn chiều và $\lambda \in P_{++}$, thành phần đẳng kiểu của V kiểu $E(\lambda )$ được gọi là thành phần đẳng kiểu của trọng số cao nhất $\lambda$ của V.

(i) I = $-q, p$ và $q-p=\lambda (H_{\alpha})$.

(ii) Với mọi số nguyên $u\in 0, p+q,\lambda + (p-u)\alpha$ và $\lambda + (-q+u)\alpha$ liên hợp dưới $s_{\alpha}$, và $m_{-q+u}=m_{p-u}$.

(iii) Nếu $t\in \mathbf{Z}$ và $t <(p-q)/2$, $(X_{\alpha})_V$ ánh xạ $V^{\lambda+t\alpha}$ đơn ánh vào $V^{\lambda+(t+1)\alpha}$.

(iv) Hàm $t \rightarrow m_t$ tăng trên $-q,(p-q)/2$ và giảm trên $(p-q)/2, p$.

Cho $\alpha \in B$. Cho V cấu trúc $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k$)-môđun được xác định bởi các phần tử $X_{\alpha}, X_{-\alpha}, H_{\alpha}$ của $\mathfrak{g}$. Mọi phần tử khác không của $V^{\lambda+p\alpha}$ khi đó đều là nguyên thủy. Do đó, $(\lambda +p\alpha )(H_{\alpha})\geq 0$ và $(X_{-\alpha})^rV^{\lambda+p\alpha}\not= 0$ với

(§1, no. 2, Mệnh đề 2). Suy ra rằng $V^{\lambda+t\alpha}\not= 0$ với $p\geq t\geq p-(\lambda (H_{\alpha}) + 2p)$, do đó $p+q\geq \lambda (H_{\alpha}) + 2p$. Áp dụng kết quả này cho $-\alpha$ ta được

Suy ra $q-p=\lambda (H_{\alpha})$ và $\lambda +t\alpha \in \mathscr{X}$ với $p\geq t\geq -q$, điều này chứng minh (i).

Ta có $s_{\alpha}(\alpha ) =-\alpha$, và $s_{\alpha}(\mu)\in \mu+k\alpha$ với mọi $\mu\in \mathfrak{h}^*$. Vì W giữ $\mathscr{X}$ ổn định (Hệ quả 2 của Mệnh đề $2$)$,s_{\alpha}$ giữ $\{\lambda -q\alpha , \lambda -q\alpha +\alpha , . . . , \lambda +p\alpha \}$ ổn định và biến $\lambda -q\alpha +u\alpha$ thành $\lambda +p\alpha -u\alpha$ với mọi $u\in k$. Lại áp dụng Hệ quả 2 của Mệnh đề 2, ta thấy rằng $m_{-q+u}=m_{p-u}$ với mọi số nguyên $u\in 0, p+q$. Điều này chứng minh (ii).

Theo §1, Hệ quả của Mệnh đề $2, (X_{\alpha})_V|V^{\lambda+t\alpha}$ là đơn ánh với $t <(p-q)/2$. Bây giờ $(X_{\alpha})_V$ ánh xạ $V^{\lambda+t\alpha}$ vào $V^{\lambda+(t+1)\alpha}$. Do đó $m_{t+1}\geq m_t$ với $t <(p-q)/2$. Thay $\alpha$ bởi $-\alpha$, ta thấy rằng $m_{t+1}\leq m_t$ với $t >(p-q)/2$. Điều này chứng minh (iii) và (iv).

Điều này suy ra ngay lập tức từ Mệnh đề 3 (i).

Viết $\nu =\sum_{\alpha\in B}c_{\alpha}.\alpha$, trong đó $c_{\alpha}\in \mathbf{N}$ với mọi $\alpha \in B$. Hệ quả là hiển nhiên

khi $\sum_{\alpha\in B}c_{\alpha}= 0$; giả sử rằng $\sum_{\alpha\in B}c_{\alpha}>0$ và lập luận bằng quy nạp theo $\sum_{\alpha\in B}c_{\alpha}$. Gọi $(\cdot | \cdot )$ là một dạng song tuyến tính đối xứng dương không suy biến W-bất biến trên $\mathfrak{h}^*_{\mathbf{R}}$. Khi đó $(\nu |\sum_{\alpha\in B}c_{\alpha}.\alpha )>0$, do đó tồn tại $\beta \in B$ sao cho $c_{\beta}\geq 1$ và

$(\nu |\beta )>0$, suy ra $\nu (H_{\beta})\geq 1$. Vì $\mu\in P_{++}$, ta có $(\mu+\nu )(H_{\beta})\geq 1$. Theo Hệ quả $1,\mu+ (\nu -\beta )\in \mathscr{X}$, và chỉ cần áp dụng giả thiết quy nạp.

Thay V bởi $\mathfrak{g}$-môđun con sinh bởi $v$, nếu cần, ta có thể giả sử rằng V là đơn. Gọi $\mathfrak{s}$ là nhóm ổn định. Ta có $(\mathfrak{n}_+)_Vv$ = 0, $(\mathfrak{h})_Vv\subset kv$. Cho $\alpha \in B$ sao cho $\omega (H_{\alpha}) = 0$. Ta có $\omega +\alpha \notin \mathscr{X}$, do đó $\omega -\alpha \notin \mathscr{X}$ (Mệnh đề 3 (i)) và do đó $(\mathfrak{g}^{-\alpha})_Vv= 0$. Điều trên chứng minh rằng $\mathfrak{p}_{\Sigma}\subset \mathfrak{s}$. Nếu $\mathfrak{p}_{\Sigma}\not=\mathfrak{s}$, thì $\mathfrak{s}=\mathfrak{p}_{\Sigma'}$, trong đó $\Sigma '$ là một tập con của B chứa thực sự $\Sigma$. Cho $\beta \in \Sigma '$ -- $\Sigma$. Khi đó $\mathfrak{g}^{-\beta}$ ổn định $kv$, và do đó triệt tiêu $v$. Nhưng, vì $\omega (H_{\beta})>0$, điều này mâu thuẫn với Mệnh đề 3 (iii). Q.E.D.

Một tập con $\mathscr{X}$ của P được gọi là R-bão hòa nếu nó thỏa mãn điều kiện sau: với mọi $\lambda \in \mathscr{X}$ và mọi $\alpha \in R$, ta có $\lambda -t\alpha \in \mathscr{X}$ với mọi số nguyên $t$ nằm giữa 0 và $\lambda (H_{\alpha})$. Vì $s_{\alpha}(\lambda ) =\lambda -\lambda (H_{\alpha})\alpha$, ta thấy rằng một tập con R-bão hòa của P là ổn định đối với W. Cho $\mathscr{Y}\subset P$. Một phần tử $\lambda$ của $\mathscr{Y}$ được gọi là R-biên trong $\mathscr{Y}$ nếu, với mọi $\alpha \in R$, hoặc là $\lambda +\alpha \notin \mathscr{Y}$ hoặc là $\lambda -\alpha \notin \mathscr{Y}$.

Điều này suy ra ngay lập tức từ Mệnh đề 3.

(i) $\mathscr{X}$ là tập con R-bão hòa nhỏ nhất của P chứa $\omega$.

(ii) Các phần tử R-cực đại của $\mathscr{X}$ là các biến đổi theo W của $\omega$.

(iii) Nếu $\mu\in \mathscr{X}$, ta có $\|\mu\| \leq \|\omega \|$. Nếu thêm vào đó, $\mu\not=\omega$, ta có $\|\mu+\rho \|<\|\omega +\rho \|$. Nếu $\mu$ không là R-cực đại trong $\mathscr{X}$, thì $\|\mu\|<\|\omega \|$.

(iv) Ta có $\mathscr{X}= W.(\mathscr{X}\cap P_{++})$. Một phần tử $\lambda$ của $P_{++}$ thuộc $\mathscr{X}\cap P_{++}$ khi và chỉ khi $\omega -\lambda \in Q_+$.

(i) Gọi $\mathscr{X}'$ là tập con R-bão hòa nhỏ nhất của P chứa $\omega$. Ta có $\mathscr{X}'\subset \mathscr{X}$ (Mệnh đề 4). Giả sử rằng $\mathscr{X}\not=\mathscr{X}'$. Cho $\lambda$ là một phần tử cực đại của $\mathscr{X}$ -- $\mathscr{X}'$. Vì $\lambda \not=\omega$, tồn tại $\alpha \in B$ sao cho $\lambda +\alpha \in \mathscr{X}$. Đưa vào $p$ và $q$ như trong Mệnh đề 3. Vì $\lambda$ là cực đại trong $\mathscr{X}$ -- $\mathscr{X}',\lambda +p\alpha \in \mathscr{X}'$. Theo Mệnh đề 3 (ii), $\lambda -q\alpha \in \mathscr{X}'$ vì $\mathscr{X}'$ ổn định theo W. Do đó $\lambda +u\alpha \in \mathscr{X}'$ với mọi số nguyên $u$ trong khoảng $-q, p$. Điều này mâu thuẫn với $\lambda \notin \mathscr{X}'$ và chứng minh (i).

(ii) Rõ ràng rằng $\omega$ là một phần tử R-cực biên của $\mathscr{X}$; các biến đổi W của nó do đó cũng là R-cực biên trong $\mathscr{X}$. Cho $\lambda$ là một phần tử R-cực biên của $\mathscr{X}$; ta sẽ chứng minh rằng $\lambda \in W.\omega$. Vì tồn tại $w\in W$ sao cho $w\lambda \in P_{++}$ (Ch. VI, §1, no. 10), ta có thể giả sử rằng $\lambda \in P_{++}$. Cho $\alpha \in B$; đưa vào $p$ và $q$ như trong Mệnh đề 3. Vì $\lambda$ là R-cực biên, hoặc $p= 0$ hoặc $q= 0$. Vì

ta không thể có $p >0$. Do đó $p= 0$ và $\lambda =\omega$.

(iii) Cho $\mu\in \mathscr{X}\cap P_{++}$. Khi đó $\omega +\mu\in P_{++}$ và $\omega -\mu\in Q_+($§6, no. 1, Mệnh đề 1), nên $0\leq (\omega -\mu|\omega +\mu) = (\omega |\omega )-(\mu|\mu)$; do đó, $(\mu|\mu)\leq (\omega |\omega )$, và điều này mở rộng cho mọi $\mu\in \mathscr{X}$ bằng cách sử dụng nhóm Weyl. Nếu $\mu\in \mathscr{X}$ -- $\{\omega \}$,

Bây giờ $\omega -\mu=\sum_{\alpha\in B}n_{\alpha}\alpha$ với các số nguyên $n_{\alpha}\geq 0$ không phải tất cả đều bằng không, nên $(\omega -\mu|\rho )>0$ vì $(\rho |\alpha )>0$ với mọi $\alpha \in B$ (Ch. VI, §1, no. 10, Mệnh đề 29 (iii)). Nếu $\mu$ không R-cực biên trong $\mathscr{X}$, tồn tại $\alpha \in R$ sao cho $\mu+\alpha \in \mathscr{X}$ và $\mu-\alpha \in \mathscr{X}$; khi đó

$\|\mu\|<$ sup($\|\mu+\alpha \|,\|\mu-\alpha \|$)$\leq$ sup$_{\lambda\in\mathscr{X}}\|\lambda \|$

và cận trên cuối cùng này là $\|\omega \|$ theo điều đã chứng minh trước đó.

(iv) Ta có $\mathscr{X}= W.(\mathscr{X}\cap P_{++})$ theo Ch. VI, §1, no. 10. Nếu $\lambda \in \mathscr{X}$, thì $\omega -\lambda \in Q_+($§6, no. 1, Mệnh đề 1). Nếu $\lambda \in P_{++}$ và $\omega -\lambda \in Q_+$, thì $\lambda \in \mathscr{X}$ (Hệ quả 2 của Mệnh đề 3).

Vì $\mathscr{X}$ ổn định đối với $W,\mathscr{X}$ là tập R-bão hòa nhỏ nhất chứa $\mathscr{X}\cap P_{++}$. Theo Mệnh đề 5 (i), $\mathscr{X}$ là tập hợp các trọng số của $\bigoplus_{\lambda\in\mathscr{X}\cap P_{++}}E(\lambda )$.

(i) $\mathscr{X}= W.\lambda$;

(ii) mọi phần tử của $\mathscr{X}$ có cùng chuẩn;

(iii) với mọi $\alpha \in R$, ta có $\lambda (H_{\alpha})\in \{0,1,-1\}$.

Mọi tập con R-bão hòa không rỗng của P đều chứa một phần tử $\lambda$ thỏa mãn các điều kiện trên.

Đưa vào điều kiện:

(ii$'$) với mọi $\alpha \in R$ và mọi số nguyên $t$ giữa 0 và $\lambda (H_{\alpha})$,

(i) $=\Rightarrow$ (ii) $=\Rightarrow$ (ii$'$)$:$ Điều này là hiển nhiên.

(ii$'$) $=\Rightarrow$ (iii): Giả sử điều kiện (ii$'$) được thỏa mãn. Cho $\alpha \in R$. Ta có $\|\lambda \|=\|\lambda -\lambda (H_{\alpha})\alpha \|$, do đó $\|\lambda -t\alpha \|<\|\lambda \|$ với mọi số nguyên $t$ nằm nghiêm ngặt giữa 0 và $\lambda (H_{\alpha})$; vì vậy, không thể có các số nguyên như vậy, nên $|\lambda (H_{\alpha})| \leq 1$.

(iii) $=\Rightarrow$ (i): Giả sử điều kiện (iii) được thỏa mãn. Cho $w\in W$ và $\alpha \in R$. Khi đó $(w\lambda )(H_{\alpha}) =\lambda (H_{w^{-1}\alpha})\in \{0,1,-1\}$; do đó, nếu $t$ là một số nguyên giữa 0 và $(w\lambda )(H_{\alpha}),w\lambda -t\alpha$ bằng $w\lambda$ hoặc $s_{\alpha}(w\lambda )$. Điều này chứng minh rằng $W.\lambda$ là R-bão hòa, vậy $\mathscr{X}= W.\lambda$.

Cho $\mathscr{Y}$ là một tập con R-bão hòa không rỗng của P. Tồn tại trong $\mathscr{Y}$ một phần tử $\lambda$ có chuẩn nhỏ nhất. Rõ ràng rằng $\lambda$ thỏa mãn điều kiện (ii$'$), do đó là khẳng định cuối cùng của mệnh đề.

(iv) với mọi $\alpha \in R$ và mọi $x\in \mathfrak{g}^{\alpha}$, ta có $(x_V)^2= 0$.

Nếu các điều kiện này được thỏa mãn, mọi trọng số của V đều có bội số 1.

Nếu (i) được thỏa mãn, thì $\mathscr{X}= W.\lambda$ và các trọng số đều có cùng bội số với $\lambda$ (Hệ quả 2 của Mệnh đề 2), nói cách khác, bội số bằng 1. Hơn nữa, nếu $w\in W$ và $\alpha \in R,w\lambda +t\alpha$ không thể là một trọng số của V trừ khi $|t| \leq 1$; do đó, nếu $x\in \mathfrak{g}^{\alpha}$,

nên $(x_V)^2= 0$, điều này chứng minh rằng (i) $=\Rightarrow$ (iv).

Ngược lại, giả sử rằng (iv) được thỏa mãn. Cho $\alpha \in R$, và cho V cấu trúc môđun $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$ được xác định bởi các phần tử $X_{\alpha}, X_{-\alpha}, H_{\alpha}$ của $\mathfrak{g}$. Điều kiện (iv), áp dụng cho $x=X_{\alpha}$, suy ra rằng các trọng số của môđun $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k$)-môđun V thuộc vào $\{0,1,-1\}$ (xem §1, no. 2, Hệ quả của Mệnh đề 2). Đặc biệt, $\lambda (H_{\alpha})\in \{0,1,-1\}$, do đó (iv) $=\Rightarrow$ (iii).

(v) $\lambda (H) = 1$;

(vi) tồn tại $i\in J$ sao cho $\lambda =\varpi_i$.

Các $\varpi_i$, với $i\in J$, tạo thành một hệ các đại diện trong P(R) của các phần tử khác không của $P(R)/Q(R)$.

Cho $\lambda =u_1\varpi_1+\cdots +u_l\varpi_l$, trong đó $u_1, . . . , u_l$ là các số nguyên $\geq 0$ và không đồng thời bằng không. Khi đó $\lambda (H) =u_1n_1+\cdots +u_ln_l$ và $n_1\geq 1, . . . , n_l\geq 1$, điều này cho ngay lập tức sự tương đương của (v) và (vi). Mặt khác, $\lambda (H) =$ sup$_{\alpha\in R_+}\lambda (H_{\alpha})$, và $\lambda (H)>0$ vì $\lambda$ là một phần tử khác không của $P_{++}$. Do đó

điều kiện (v) tương đương với điều kiện $\lambda (H_{\alpha})\in \{0,1\}$ với mọi $\alpha \in R$, nói cách khác tương đương với điều kiện (iii) của Mệnh đề 6.

Khẳng định cuối cùng của mệnh đề suy ra từ Chap. VI, §2, no. 3, Hệ quả của Mệnh đề 6.

(i) Thành phần của $E\otimes F$ có trọng số cao nhất $\lambda +\mu$ là một môđun con đơn, được sinh bởi $(E\otimes F)^{\lambda+\mu}= E^{\lambda}\otimes F^\mu$.

(ii) Trọng số cao nhất của bất kỳ môđun con đơn nào của $E\otimes F$ đều $\leq \lambda +\mu$ (xem §9, Mệnh đề 2).

Nếu $\alpha , \beta \in P$ và nếu $E^{\alpha}\otimes F^{\beta}\not= 0$, thì $\alpha \leq \lambda$ và $\beta \leq \mu$. Do đó, $(E\otimes F)^{\lambda+\mu}$ bằng $E^{\lambda}\otimes F^\mu$, và vì vậy có chiều bằng 1, và $\lambda +\mu$ là trọng số cao nhất của $E\otimes F$. Mọi phần tử khác không của $E^{\lambda}\otimes F^\mu$ đều là nguyên thủy. Theo Mệnh đề 4 của §6, no. 2, độ dài của thành phần đẳng kiểu của $E\otimes F$ có trọng số cao nhất $\lambda +\mu$ là 1.