Bài tập 16, § 7

Cho V và $V'$ là hai $\mathfrak{g}$-môđun. Khi đó $V'$ được gọi là phụ thuộc vào V nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính $f: V\rightarrow V'$ sao cho:

$\alpha )f$ là toàn ánh; $\beta )$ ảnh qua $f$ của một phần tử nguyên thủy của V hoặc là 0 hoặc là một phần tử nguyên thủy của $V';\gamma )f$ là một $\mathfrak{n}_-$-đồng cấu.

a) Cho $f: V\rightarrow V'$ thỏa mãn $\alpha ),\beta ),\gamma )$. Gọi v là một phần tử nguyên thủy của V. Khi đó ảnh qua $f$ của $\mathfrak{g}$-môđun con sinh bởi v là $\mathfrak{g}$-môđun con sinh bởi $f(v)$.

b) Cho $f: V\rightarrow V'$ thỏa mãn $\alpha ),\beta ),\gamma )$. Gọi W là một $\mathfrak{g}$-môđun con của V. Khi đó $f(W)$ là một $\mathfrak{g}$-môđun con của $V'$ phụ thuộc vào W.

c) Cho $V = E_1\oplus \cdots \oplus E_s$ và $V'= E'_1\oplus \cdots E'_{s'}$ là các phân tích của V và $V'$ thành các tổng của các môđun đơn. Khi đó $V'$ phụ thuộc vào V khi và chỉ khi $s'\leq s$ và tồn tại $\sigma \in \mathfrak{S}_s$ sao cho $E'_i$ phụ thuộc vào $E_{\sigma(i)}$ với $i= 1, . . . , s'$.

d) Nếu $V'$ phụ thuộc vào V và nếu V là đơn, thì $V'$ là đơn hoặc rút gọn về 0.

e) Giả sử rằng V và $V'$ là đơn. Gọi $\lambda$ và $\lambda '$ là các trọng cao nhất của chúng. Khi đó $V'$ phụ thuộc vào V khi và chỉ khi $\lambda '(H_{\alpha})\leq \lambda (H_{\alpha})$ với mọi $\alpha \in B$. (Để chứng minh điều kiện đủ, sử dụng bài tập trước.)