Bài tập 22, § 7

Giả sử rằng $\mathfrak{g}$ là đơn, nói cách khác rằng R là bất khả quy. Chứng minh rằng tồn tại một trọng số trội duy nhất $\lambda \not= 0$ sao cho tập hợp các trọng số của $E(\lambda )$ là $W.\lambda \cup \{0\}:$ ta có $\lambda =\alpha$, trong đó $\alpha \in R$ là nghiệm sao cho $H_{\alpha}$ là nghiệm cao nhất của $R^{\vee}$. Khi tất cả các nghiệm có cùng độ dài (các trường hợp $A_l,D_l,E_6,E_7,E_8$), ta có $\lambda = \widetilde{\alpha}$; đây là nghiệm duy nhất là một trọng số trội

$^{15}$Để biết thêm chi tiết, xem E. B. DYNKIN, Maximal subgroups of classical groups [bằng tiếng Nga], Trudy Moskov. Mat. Ob$\check{s}\check{c}$., Tập 1 (1952), tr. 39-166 (= Amer. Math.

Soc. Transl., Tập 6 (1957), tr. 245-374). trọng số; biểu diễn tương ứng là biểu diễn phụ hợp của $\mathfrak{g}$. Trong các trường hợp khác, $\lambda$ là nghiệm duy nhất có độ dài nhỏ nhất là một trọng số trội; với các ký hiệu của Chương VI, Các bảng, ta có: $\lambda =\varpi_1$ (kiểu $B_l$); $\lambda =\varpi_2$ (kiểu $C_l$)$;\lambda =\varpi_4$ (kiểu $F_4$)$;\lambda =\varpi_1$ (kiểu $G_2$).