Bài tập 24, § 7

Cho A là một đại số kết hợp có đơn vị và M là tập hợp các iđêan hai phía có đối chiều hữu hạn của nó.

a) Cho $U^*$ là không gian đối ngẫu của không gian vectơ U. Nếu $\theta \in U^*$, hãy chứng minh tính tương đương của các tính chất sau:

(i) tồn tại $\mathfrak{m}\in M$ sao cho $\theta (\mathfrak{m}) = 0$;

(ii) tồn tại hai họ hữu hạn $(\theta '_i)$ và $(\theta ''_i)$ gồm các phần tử của $U^*$ sao cho

$\theta (xy) =\sum_i\theta '_i(x)\theta ''_i(y)$ với mọi $x, y\in U$.

Các phần tử $\theta$ có các tính chất này tạo thành một không gian con $U'$ của $U^*$, trùng với không gian được ký hiệu bởi $B'$ trong Đại số, Ch. III, §11, Bài tập 27. Tồn tại một cấu trúc đại số đối ngẫu duy nhất trên $U'$ mà đồng tích $c: U'\rightarrow U'\otimes U'$ được cho bởi

trong đó $\theta '_i, \theta ''_i\in U'$ là các phần tử sao cho $\theta (xy) =\sum_i\theta '_i(x)\theta ''_i(y)$ với mọi $x, y\in U$, xem (ii).

Đại số đối ngẫu $U'$ là hợp của lọc tăng bởi các không gian con $(U/\mathfrak{m})^*,\mathfrak{m}\in M$, vốn có chiều hữu hạn. Đối ngẫu của $U'$ có thể được đồng nhất với đại số $\widehat{U} =$ lim$_{\leftarrow -}U/\mathfrak{m}$; nếu $\widehat{U}$ được trang bị giới hạn xạ ảnh của các tôpô rời rạc trên các $U/\mathfrak{m},\mathfrak{m}\in M$, thì các dạng tuyến tính liên tục trên $\widehat{U}$ được cho bởi các phần tử của $U'$.

b) Cho E là một U-môđun trái có chiều hữu hạn. Linh hóa tử $\mathfrak{m}_E$ của nó thuộc M; hợp thành $\widehat{U}\rightarrow U/\mathfrak{m}_E\rightarrow$ End(E) cho E cấu trúc của một $\widehat{U}$-môđun trái. Nếu F là một U-môđun trái có chiều hữu hạn, một ánh xạ tuyến tính $f: E\rightarrow F$ là một đồng cấu U nếu và chỉ nếu nó là một đồng cấu $\widehat{U}$. Nếu $a\in E, b\in E^*$, dạng tuyến tính $\theta_{a,b}:x \rightarrow \langle xa, b\rangle$ thuộc $U'$, và

$\langle x, \theta_{a,b}\rangle =\langle xa, b\rangle$ với mọi $x\in \widehat{U}$.

Các $\theta_{a,b}$ (với $E, a, b$ thay đổi) sinh không gian vectơ $k$-không gian $U'$. c) Cho $X_U$ là tập hợp các lớp đẳng cấu của các U-môđun trái có chiều hữu hạn. Với mọi $E\in X_U$, cho $u_E$ là một tự đồng cấu tuyến tính $k$ của E; giả sử rằng

$f\circ u_E=u_F\circ f$ với mọi $E,F\in X_U$ và $f\in$ Hom$_U(E,F)$.

Chứng minh rằng tồn tại một phần tử duy nhất $x\in \widehat{U}$ sao cho $x_E=u_E$ với mọi $E\in X_U$. (Rút gọn về trường hợp U có chiều hữu hạn.)