Bài tập 27, § 7

Cho $\Omega = P/Q$. Nếu $\omega \in \Omega$, và nếu E là một $\mathfrak{g}$-môđun, ký hiệu $E_{\omega}$ là tổng trực tiếp của các $E^{\lambda}$, với $\lambda \in \omega$. Ta có $E =\bigoplus_{\omega\in\Omega}E_{\omega}$.

a) Chứng minh rằng $E_{\omega}$ là một $\mathfrak{g}$-môđun con của E. Ta có $(E^*)_{\omega}= (E_{-\omega})^*$ và

nếu F là một $\mathfrak{g}$-môđun khác.

b) Cho $\chi \in$ Hom($\Omega , k^*$) $=$ Ker(T$_P\rightarrow T_Q$). Đồng nhất $\chi$ với một phần tử của hạt nhân của $f: G\rightarrow$ Aut$_e(\mathfrak{g})$, cf. Exerc. $26e)$. Chứng minh rằng phép toán của $\chi$ trên $E_{\omega}$ là phép vị tự có tỉ số $\chi (\omega )$.

c) Các $E_{\omega}$ là gì khi $\mathfrak{g}=\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$ ?