Bài tập 6, § 7

Cho $\varphi$ là một tự đẳng cấu đối hợp của $\mathfrak{g}$ có hạn chế lên $\mathfrak{h}$ là $-$Id. Hãy chứng minh rằng, nếu E là một $\mathfrak{g}$-môđun, thì tồn tại một dạng song tuyến tính đối xứng không suy biến $\Psi$ trên E sao cho

$\Psi (x.a, b) +\Psi (a, \varphi (x).b) = 0$ for $x\in \mathfrak{g}, a, b\in E$.

(Rút gọn về trường hợp E là đơn. Chứng minh rằng biến đổi của E bởi $\varphi$ là đẳng cấu với đối ngẫu $E^*$ của E, và suy ra sự tồn tại của một dạng song tuyến tính không suy biến $\Psi$ thỏa mãn các điều kiện trên. Sau đó chứng minh rằng, nếu $e$ là một vectơ nguyên thủy trong E, thì $\Psi (e, e)\not= 0$. Suy ra rằng $\Psi$ là đối xứng.)