Bài tập 8, § 7

Cho $\mathfrak{g}$ là một đại số Lie nửa đơn; một cách đặc biệt, trong bài tập này ta không giả thiết rằng $\mathfrak{g}$ là tách. Cho $\overline{k}$ là một bao đóng đại số của $k$ và cho

$\pi :$ Gal($\overline{k}/k$)$\rightarrow$ Aut( $\overline{R},\overline{B}$)

là đồng cấu được xác định trong §5, Bài tập 8. Cho Gal($\overline{k}/k$) tác động, qua $\pi$, lên tập hợp $\overline{P}_{++}$ các trọng số trội của $\overline{R}$ đối với $\overline{B}$; cho $\Omega$ là một hệ đại diện của các phần tử của thương $\overline{P}_{++}/$Gal($\overline{k}/k$).

a) Đặt $\overline{\mathfrak{g}}= \overline{k}\otimes_k\mathfrak{g}$. Nếu I là một tập con hữu hạn của $\overline{P}_{++}$ ổn định dưới Gal($\overline{k}/k$), iđêan hai phía $\overline{\mathfrak{m}}_I$ của $U(\overline{\mathfrak{g}})$ liên kết với I (xem Bài tập 7) có dạng $\overline{k}\otimes_k\mathfrak{m}_I$, trong đó $\mathfrak{m}_I$ là một iđêan hai phía của $U(\mathfrak{g})$. Chứng minh rằng mọi iđêan hai phía của $U(\mathfrak{g})$ có đối chiều hữu hạn đều thu được theo cách này đúng một lần.

b) Cho $\omega \in \Omega , I(\omega )$ là quỹ đạo của nó dưới tác động của Gal($\overline{k}/k$), và $G_{\omega}$ là nhóm ổn định của $\omega$; cho $k_{\omega}$ là mở rộng con của $\overline{k}$ tương ứng với $G_{\omega}$ theo lý thuyết Galois. Chứng minh rằng $U(\mathfrak{g})/\mathfrak{m}_{I(\omega)}$ là một đại số đơn có tâm đẳng cấu với $k_{\omega}$. Mọi iđêan hai phía $\mathfrak{m}$ của $U(\mathfrak{g})$ sao cho $U(\mathfrak{g})/\mathfrak{m}$ là một đại số đơn hữu hạn chiều đều bằng đúng một trong các $\mathfrak{m}_{I(\omega)}$.

c) Nhóm Gal($\overline{k}/k$) tác động, qua $\pi$, lên vành $R(\overline{\mathfrak{g}})$; ký hiệu $R(\overline{\mathfrak{g}})^{inv}$ là vành con của $R(\overline{\mathfrak{g}})$ gồm các phần tử bất biến dưới Gal($\overline{k}/k$). Chứng minh rằng ánh xạ $[E]\rightarrow [\overline{k}\otimes_kE]$ mở rộng thành một đồng cấu đơn ánh từ $R(\mathfrak{g})$ vào $R(\overline{\mathfrak{g}})^{inv}$ có đối hạt nhân là một nhóm xoắn; đây là một đẳng cấu khi và chỉ khi, với mọi $\omega \in \Omega , U(\mathfrak{g})/\mathfrak{m}_{I(\omega)}$ là một đại số các ma trận trên $k_{\omega}$; chứng minh rằng điều này xảy ra khi $\mathfrak{g}$ có một đại số con Borel. $^{14}$

$^{14}$Để biết thêm chi tiết về bài tập này, xem: J. TITS, Représentations linéaires irréductibles d’un groupe réductif sur un corps quelconque, J. für die reine und angewandte Math. Vol. CCXLVII (1971), pp. 196-220.