Bài tập 10, § 8

(Trong bài tập này, và trong ba bài tiếp theo, ta giữ các ký hiệu của §6.) Cho $\lambda \in \mathfrak{h}^*$.

a) Cho $N,N'$ là các môđun con $\mathfrak{g}$ của $Z(\lambda )$ sao cho $N'\subset N$ và $N/N'$ là đơn. Hãy chứng minh rằng tồn tại $\mu\in \lambda -Q_+$ sao cho $N/N'$ đẳng cấu với $E(\mu)$ (áp dụng Định lý 1 của §6), và sao cho $\mu+\rho \in W.(\lambda +\rho )$ (áp dụng Hệ quả 1 của Định lý 2). b) Hãy chứng minh rằng $Z(\lambda )$ thừa nhận một dãy Jordan-Hölder. (Áp dụng $a$) và sự kiện là các trọng số của $Z(\lambda )$ có bội số hữu hạn.)