Bài tập 8, § 8

Đặt $l=$ rk($\mathfrak{g}$)$,N =$ dim($\mathfrak{g}$). Nếu $x\in \mathfrak{g}$, định nghĩa $a_i(x), 0\leq i\leq N$, bởi công thức

det(T + ad $x$) $=\sum_{i=0}^NT^{N-i}a_i(x)$.

Hàm $a_i$ được định nghĩa như vậy là đa thức thuần nhất bậc $i$, và bất biến dưới Aut($\mathfrak{g}$). Nếu $x\in \mathfrak{h}$ và $i\leq N-l,a_i(x)$ là hàm đối xứng sơ cấp thứ $i$ của các $\alpha (x),\alpha \in R$; đặc biệt, $a_{N-l}(x) =\prod_{\alpha\in R}\alpha (x)$.

Hãy xây dựng một ví dụ trong đó các $a_i$ không sinh ra đại số các hàm đa thức trên $\mathfrak{g}$ bất biến dưới Aut($\mathfrak{g}$).