Bài tập 14, § 9

a) Cho $\mu, \nu \in P_{++}$ và cho $\gamma$ là một trọng số của $E(\mu)$. Cho $\rho_\mu$ là biểu diễn của $\mathfrak{g}$ trên $E(\mu)$. Cho $X_{\alpha}\in \mathfrak{g}^{\alpha}$ -- $\{0\}, Y_{\alpha}\in \mathfrak{g}^{-\alpha}$ -- $\{0\}$. Nếu $\alpha \in B$, đặt $\nu_{\alpha}=\nu (H_{\alpha})$, và

$E^+(\mu, \gamma , \nu ) = E(\mu)^{\gamma}\cap \bigcap_{\alpha\in B}$ Ker $\rho_\mu(X_{\alpha})^{\nu_{\alpha}+1}$,

$E^-(\mu, \gamma , \nu ) = E(\mu)^{\gamma}\cap \bigcap_{\alpha\in B}$ Ker $\rho_\mu(Y_{\alpha})^{\nu_{\alpha}+1}$,

$d^+(\mu, \gamma , \nu ) =$ chiều $E^+(\mu, \gamma , \nu ),d^-(\mu, \gamma , \nu ) =$ chiều $E^-(\mu, \gamma , \nu )$.

Với mọi $\lambda \in \mathfrak{h}^*$, đặt $\lambda^*=-w_0\lambda$, trong đó $w_0$ là phần tử của W đưa B thành $-B$. Chứng minh rằng

b) Cho $\lambda_1, \lambda_2\in P_{++}, V$ là $\mathfrak{g}$-môđun Hom$_k(E(\lambda^*_1),E(\lambda_2)), U$ là tập hợp các $\varphi \in V$ sao cho $Y_{\alpha}.\varphi = 0$ với mọi $\alpha \in B$, và $w$ là một vectơ nguyên thủy trong $E(\lambda^*_1)$. Chứng minh rằng $\varphi \rightarrow \varphi (w)$ là một đẳng cấu từ U lên tập hợp các $v\in E(\lambda_2)$ sao cho $Y_{\alpha}^{\lambda^*_1(H_{\alpha})+1}.v= 0$ với mọi $\alpha \in B$. (Dùng Exerc. 15 của §7 để chứng minh tính toàn ánh.)

c) Với các ký hiệu của Mệnh đề 2, chứng minh rằng, với $\lambda_1, \lambda_2, \lambda \in P_{++}$,

(Nhận xét rằng $m(\lambda_1, \lambda_2, \lambda )$ là chiều của không gian các phần tử bất biến bởi $\mathfrak{g}$ của

và do đó bằng $m(\lambda^*_1, \lambda , \lambda_2).)$

d) Cho $\lambda_1, \lambda_2\in P_{++}$, và cho $\lambda$ là phần tử duy nhất của $P_{++}\cap W.(\lambda_1-\lambda^*_2)$. Ta có

(Dùng $c$)$.)$ Suy ra rằng $E(\lambda_1)\otimes E(\lambda_2)$ chứa một môđun con duy nhất đẳng cấu với $E(\lambda )$.

e) Giữ lại các ký hiệu của d). Chứng minh tính tương đương của các điều kiện sau:

(i) $\lambda =\lambda_1+\lambda_2$

(ii) $\|\lambda \|=\|\lambda_1+\lambda_2\|$

(iii) $\lambda_1$ và $\lambda^*_2$ trực giao

(iv) $\lambda_1$ và $\lambda^*_2$ rời nhau (Exerc. 13)

(v) $\lambda_1$ và $\lambda_2$ rời nhau.

Kết luận rằng $E(\lambda_1)\otimes E(\lambda_2)$ không là một môđun đơn trừ khi $\lambda_1$ và $\lambda_2$ là rời nhau (và do đó một chứng minh khác của Bài tập $18f$) của §7).