Bài tập 16, § 9

a) Lấy $\mathfrak{g}$ là đại số Lie kiểu $F_4$ và sử dụng các ký hiệu của Chương VI, Bảng VIII. Nếu $i= 1,2,3,4$, đặt

Tập hợp các trọng số của $E(\varpi_i)$ là hợp rời nhau của các $W\omega$, trong đó $\omega$ thuộc về $\mathscr{X}_i$ (xem §7, Mệnh đề 5 (iv)). Ta có:

b) Chứng minh, bằng cách sử dụng Định lý 2, rằng:

dim $E(\varpi_1) = 52$, dim $E(\varpi_2) = 1274$, dim $E(\varpi_3) = 273$, dim $E(\varpi_4) = 26$. c) Bằng cách sử dụng Chương V, §3, Mệnh đề 1, và các bảng của Chương VI, chứng minh rằng

Card(W$\varpi_1$) $= 2^73^22^{-3}$(3!)$^{-1}= 24$.

Tính Card(W$\varpi_2$)$, . . .$, Card(W$.2\varpi_4$) tương tự. Suy ra rằng số các trọng số của $E(\varpi_2)$ là 553; vì số này nhỏ hơn nghiêm ngặt dim $E(\varpi_2)$, một trong các trọng số này có bội số $\geq 2$. d) Thực hiện các phép tính tương tự cho $\varpi_1, \varpi_3, \varpi_4$. Bằng cách sử dụng Bài tập 21 của §7, suy ra rằng, nếu $\rho$ là một biểu diễn đơn khác không của $\mathfrak{g},\rho$ thừa nhận một trọng số có bội số $\geq 2$.

e) Chứng minh cùng kết quả đó cho một đại số đơn kiểu $E_8$.

f) Cho $\mathfrak{a}$ là một đại số Lie đơn tách được. Suy ra từ $d),e)$ và các Mệnh đề 7 và 8 của §7 tính tương đương của các tính chất sau:

(i) $\mathfrak{a}$ thừa nhận một biểu diễn đơn khác không mà tất cả các trọng số của nó đều có bội số 1;

(ii) $\mathfrak{a}$ không thuộc kiểu $F_4$ cũng không thuộc kiểu $E_8$.