Bài tập 6, § 9

Cho $x \rightarrow x^*$ là phép đối hợp của $k[P]$ biến $e^p$ thành $e^{-p}$ với mọi $p\in P$. a) Đặt $D =d^*d=\prod_{\alpha\in R}(1-e^{\alpha})$. Chứng minh rằng $d^*= (-1)^Nd$, với N = Card(R$_+$), và do đó $D = (-1)^Nd^2$.

b) Định nghĩa hai dạng tuyến tính $\varepsilon$ và I trên $k[P]$ bằng các công thức:

$\varepsilon (1) = 1,\varepsilon (e^p) = 0$ if $p\in P$ -- $\{0\}$

và

$I(f) =\frac{1}{m}\varepsilon (D.f)$, trong đó $m=$ Card(W).

Chứng minh, bằng cách dùng công thức $d= J(e^{\rho})$, rằng I(1) = 1.

c) Cho $\lambda \in P_{++}$ và $c_{\lambda}=$ ch $E(\lambda ) = J(e^{\lambda+\rho})/d$. Chứng minh rằng $I(c_{\lambda}) = 0$ nếu $\lambda \not= 0$. (Cùng phương pháp như cho $b$)$.)$

d) Chứng minh rằng I nhận các giá trị nguyên trên đại số con $\mathbf{Z}[P]^W=$ ch $R(\mathfrak{g})$ của $k[P]$. Nếu E là một $\mathfrak{g}$-môđun, chiều của không gian các phần tử bất biến của $\mathfrak{g}$ trong E bằng I(ch E). (Rút gọn về trường hợp E là đơn và dùng $b$) và $c).)$ e) Ta có dim $E =\sum_{\lambda\in P_{++}}I(c^*_{\lambda}$ch $E)d(\lambda )$, trong đó $d(\lambda ) =$ dim $E(\lambda )$. Đặc biệt:

$I(c^*_{\lambda}c_\mu) =\delta_{\lambda \mu}$ nếu $\lambda , \mu\in P_{++}$.

f) Nếu $\lambda , \mu, \nu \in P_{++}$, số nguyên $m(\lambda , \mu, \nu )$ của Mệnh đề 2 bằng $I(c_{\lambda}c_\mu c^*_{\nu})$. Suy ra đồng nhất thức

(Áp dụng $e$) cho $\mathfrak{g}$-môđun $E = E(\lambda )\otimes E(\mu).)$