Bài tập 4, § 2

Cho $n$ là một số nguyên $\geqslant 1$ và U là một lân cận mở liên thông của 0 trong $\mathbf{C}^n$.

Cho $f: U\rightarrow \mathbf{C}$ là một ánh xạ giải tích không hằng. Đặt $A =\overset{-1}{f}(0)$; giả sử rằng A không rỗng.

(a) Chứng minh rằng tồn tại một điểm $a\in$ A và một số nguyên $p\geqslant 1$ sao cho $D^mf(z) = 0$ với mọi $z\in A$ và mọi $m\in \{0, . . . , p\}$ và $D^{p+1}f(a)= 0\not$ .

(b) Cho $(\alpha_1, . . . , \alpha_n)$ là một họ các số nguyên dương và cho $m\in \{1, . . . , n\}$ sao cho $\alpha_1+\cdots +\alpha_n=p$ và $\partial_m\partial^{\alpha}f(a)= 0\not$ . Gọi B là tập hợp các điểm $z\in U$ sao cho $\partial^{\alpha}f(z) = 0$. Chứng minh rằng tồn tại một lân cận V của $a$ được chứa trong U sao cho $B\cap V$ là một đa tạp con giải tích của V có chiều $(n-1)$. (c) Chứng minh rằng tồn tại một lân cận W của $a$ được chứa trong V sao cho $A\cap W = B\cap W$. (Rút gọn về trường hợp $m=n$ và đặt $a= (a', a_n)$; chứng minh rằng với mọi điểm $w'\in \mathbf{C}^{n-1}$ đủ gần $a'$, tồn tại một điểm $w\in \mathbf{C}$ sao cho $(w', w)\in V$ và $f(w', w) = 0$.)

(d) Chứng minh rằng tồn tại một tập con đóng S của A, có phần trong rỗng trong A, sao cho A-S là một đa tạp con giải tích có chiều $(n-1)$.