(i) Đường chéo $\Delta_X$ của tích thớ $X\times_YX$ là một không gian con đóng;

(ii) Với mọi không gian tôpô W và mọi cặp ánh xạ liên tục $(g_1, g_2)$ từ W vào X sao cho $f\circ g_1=f\circ g_2$, tập hợp các điểm $w\in W$ sao cho $g_1(w) =g_2(w)$ là đóng trong W;

(iii) Với mọi cặp $(x_1, x_2)$ các điểm của X sao cho $x_1=\not x_2$ và $f(x_1) =f(x_2)$, tồn tại một lân cận $V_1$ của $x_1$ trong X và một lân cận $V_2$ của $x_2$ trong X sao cho $V_1\cap V_2=\emptyset$.

(i)$\Rightarrow$(ii) : Cho $g_1,g_2$ là các ánh xạ liên tục từ W vào X sao cho $f\circ g_1=f\circ g_2$, và cho $g: W\rightarrow X\times_YX$ là ánh xạ suy ra từ $g_1$ và $g_2$. Tập hợp các điểm $w\in W$ sao cho $g_1(w) =g_2(w)$ là $\overset{-1}{g}(\Delta_X)$. Vì $g$ liên tục, do đó nó là đóng nếu đường chéo $\Delta_X$ là đóng.

(ii)$\Rightarrow$(i) : Đường chéo $\Delta_X$ là tập hợp các điểm $z\in X\times_YX$ sao cho pr$_1(z) =$ pr$_2(z)$. Suy ra từ (ii) áp dụng cho $W = X\times_YX$ và cho cặp ánh xạ (pr$_1$, pr$_2$) rằng đường chéo $\Delta_X$ là đóng trong $X\times_YX$.

(i)$\Leftrightarrow$(iii) : Cho $(x_1, x_2)$ là một điểm của $X\times_YX$ và cho $V_1$ và $V_2$ lần lượt là các lân cận của $x_1$ và $x_2$. Điều kiện $V_1\cap V_2=\emptyset$ tương đương với điều kiện $(V_1\times V_2)\cap \Delta_X=\emptyset$, tức là, với $(V_1\times V_2)\cap$ $(X\times_YX)\cap \Delta_X=\emptyset$. Vì các tập hợp $(V_1\times V_2)\cap (X\times_YX)$ tạo thành một cơ sở các lân cận của $(x_1, x_2)$ trong $X\times_YX$, điều này chứng minh tính tương đương của (i) và (iii).

a) Nếu $f$ và $g$ là tách, thì $g\circ f$ là tách.

b) Nếu $g\circ f$ là tách, thì $f$ là tách.

c) Hơn nữa, giả sử ánh xạ $f$ là thực sự và toàn ánh. Khi đó, nếu $g\circ f$ là tách, thì $g$ là tách.

Xét, trong $X\times X$, các không gian con $\Delta_X$ (đường chéo), $X\times_YX$ và $X\times_ZX$. Chúng lần lượt là các tập hợp các điểm $u$ của $X\times X$ sao cho pr$_1(u) =$ pr$_2(u),f\circ$pr$_1(u) =f\circ$pr$_2(u),g\circ f\circ$pr$_1(u) =g\circ f\circ$pr$_2(u)$. Nếu $g\circ f$ là tách, thì $\Delta_X$ đóng trong $X\times_ZX$, do đó cũng đóng trong $X\times_YX$, do đó b).

Theo mệnh đề 1, (ii), áp dụng cho $W = X\times_ZX,g_1=f\circ$ pr$_1$ và $g_2=f\circ$ pr$_2,X\times_YX$ đóng trong $X\times_ZX$ nếu $g$ là tách. Hơn nữa, nếu $f$ là tách, thì $\Delta_X$ đóng trong $X\times_YX$ (mệnh đề 1, (i)), do đó trong $X\times_ZX$, do đó a).

Cuối cùng, ta chứng minh c). Ánh xạ $(f, f): X\times X\rightarrow Y\times Y$ là thực sự (TG, I, p. 73, mệnh đề 4). Không gian con $X\times_ZX$ là ảnh ngược của $Y\times_ZY$ qua $(f, f)$; theo TG, I, p. 72, mệnh đề 3, ánh xạ $u: X\times_Z$ $X\rightarrow Y\times_ZY$ suy ra từ $(f, f)$ là thực sự. Vì $g\circ f$ là tách, đường chéo $\Delta_X$ đóng trong $X\times_ZX$. Do đó, $u(\Delta_X)$ đóng trong $Y\times_ZY$. Vì $f$ toàn ánh, $u(\Delta_X)$ là đường chéo của $Y\times_ZY$. Điều này chứng tỏ rằng $g$ là tách.

Cho $s: Y\rightarrow X$ là một tiết diện liên tục của $f$. Ánh xạ $s$ cảm sinh một phép đồng phôi của Y lên không gian con $s(Y)$ của X (TG, I, p. 22, mđ. 9). Ánh xạ đồng nhất của X và ánh xạ $s\circ f$ là liên tục và ta có $f\circ$ Id$_X=f\circ (s\circ f)$. Vì ánh xạ $f$ là tách được, tập $s(Y)$, là tập các điểm $x$ của X sao cho $x=s\circ f(x)$, là đóng trong X (mđ. 1, (ii)).

${X'}^{f'}$ X

$p'p$

${B'}^f$ B

là một bình phương Descartes. Nếu ánh xạ $p$ là tách được, điều tương tự cũng đúng với $p'$. Ngược lại, nếu $p'$ là tách được và nếu $f$ là ngặt phổ quát và toàn ánh, thì $p$ là tách được.

Xét bình phương

$q'q$

${B'}^f$ B

trong đó ánh xạ $\varphi$ được cảm sinh bởi ánh xạ $f'\times f': X'\times X'\rightarrow X\times X$. Nhắc lại (I, p. 13, ví dụ 1) rằng bình phương này là Descartes và ta có $\overset{-1}{\varphi}(\Delta_X) = \Delta_{X'}$.

Nếu ánh xạ $p$ là tách được, tập $\Delta_X$ là đóng trong $X\times_BX$; do đó, $\Delta_{X'}$ là một tập con đóng của $X'\times_{B'}X'$, điều này chứng minh rằng ánh xạ $p'$ là tách được.

Nếu ánh xạ $f$ là toàn ánh, ánh xạ $\varphi$ là toàn ánh (I, p. 10, cor.) ; nếu $f$ là ngặt phổ quát, $\varphi$ là ngặt (I, p. 20, def. 6). Giả sử ánh xạ $p'$ tách được. Khi đó $\Delta_{X'}$ là đóng trong $X'\times_{B'}X'$. Vì $\Delta_{X'}=\overset{-1}{\varphi}(\Delta_X)$ và vì $\varphi$ là toàn ánh và ngặt, $\Delta_X$ là đóng trong $X\times_BX$, điều này chứng minh rằng ánh xạ $p$ tách được.

Xét bình phương Descartes sau:

$X\times_ZY^{pr_2}$ Y

pr$_1g$

X $^{g\circ f}Z$.

Gọi $s: X\rightarrow X\times_ZY$ là ánh xạ $x\mapsto (x, f(x))$. Nó là một tiết diện liên tục của pr$_1: X\times_ZY\rightarrow X$. Theo mệnh đề 4, ánh xạ pr$_1$ tách được; suy ra ánh xạ $s$ là thực sự (I, p. 27, prop. 3 và TG, I, p. 72, prop. 2). Mặt khác, ánh xạ pr$_2$ là thực sự (I, p. 17, prop. 8). Do đó ánh xạ $f$, bằng pr$_2\circ s$, là thực sự (TG, I, p. 73, prop. 5).

a) Giả sử rằng $f$ và $g$ là étale; khi đó $g\circ f$ là étale.

b) Giả sử rằng $g$ là étalé, $f$ liên tục và $g\circ f$ là mở. Khi đó $f$ là mở.

c) Giả sử rằng $g\circ f$ và $g$ là étalé và $f$ liên tục. Khi đó ánh xạ $f$ là étalé.

d) Giả sử rằng $g\circ f$ là étalé và ánh xạ $f$ liên tục và mở; khi đó $f$ là étalé và $g$ là étalé tại mọi điểm của $f(X)$.

Ta chứng minh a). Giả sử các ánh xạ $f$ và $g$ là étalé. Khi đó chúng liên tục và mở, do đó ánh xạ $g\circ f$ liên tục và mở. Cho $x$ là một điểm của X. Tồn tại một lân cận W của $f(x)$ trong Y sao cho ánh xạ $g|W$ đơn ánh, và một lân cận V của $x$

trong X, được chứa trong $\overset{-1}{f}(W)$, sao cho ánh xạ $f|V$ đơn ánh; khi đó ánh xạ $(g\circ f)|V$ đơn ánh. Điều này chứng minh rằng ánh xạ $g\circ f$ là étalé (nhận xét 2).

Ta chứng minh b). Cho $x$ là một điểm của X và W là một lân cận mở của $f(x)$ sao cho $g$ cảm sinh một phép đồng phôi từ W lên tập mở $g(W)$. Cho V là một lân cận của $x$ sao cho $f(V)$ được chứa trong W; khi đó $g\circ f(V)$ là một lân cận của $g\circ f(x)$, do đó $f(V)$ là một lân cận của $f(x)$ trong tập mở W, và cũng trong Y. Điều này chứng minh rằng ánh xạ $f$ là mở (TG, I, p. 33, mệnh đề 5).

Ta chứng minh c). Theo b$),f$ là mở. Cho $x$ là một điểm của X. Vì $g\circ f$ là étalé, tồn tại một lân cận V của $x$ trong X sao cho $g\circ f|V$ đơn ánh. Do đó, $f|V$ đơn ánh và $f$ là étalé (I, p. 29, nhận xét 2).

Ta chứng minh d). Cho $x$ là một điểm của X và đặt $y=f(x)$. Tồn tại một lân cận mở V của $x$ sao cho $g\circ f$ cảm sinh một phép đồng phôi từ V lên tập mở $g\circ f(V)$. Vì ánh xạ $f$ là mở, $f(V)$ là một lân cận mở của $y$. Ánh xạ $f|V: V\rightarrow f(V)$ suy ra từ $f$ bằng cách chuyển qua các không gian con là liên tục, mở và song ánh; do đó nó là một phép đồng phôi, vậy $f$ là étalé tại $x$. Hơn nữa, ánh xạ $g$ cảm sinh một phép đồng phôi từ $f(V)$ lên $g\circ f(V)$, do đó là étalé tại $y$.

Điều này suy ra từ mệnh đề c) của mệnh đề 6.

Theo hệ quả 1, cấu xạ như vậy là étalé; do đó nó là mở (I, p. 29, nhận xét 2). Nếu nó song ánh, thì nó là một B-đẳng cấu.

Thật vậy, một tiết diện như vậy là étalé (hệ quả 1), do đó là mở.

Cho $s$ là một tiết diện của $p$; vì $p$ là étale, ảnh của $s$ là mở trong E (Hệ quả 3); nó cũng đóng, vì $p$ là tách (I, p. 27, Mệnh đề 3). Vì E liên thông, ta có $s(B) = E$ và $p$ là một đồng phôi.

Trước hết, giả sử ánh xạ $p$ là étale. Khi đó nó mở và mọi điểm của E đều có một lân cận V sao cho $p|V$ là đơn ánh, điều này tương đương với việc nói rằng ta có $(V\times V)\cap (E\times_BE)\subset \Delta_E$. Do đó $\Delta_E$ là một tập con mở của $E\times_BE$.

Ngược lại, giả sử $p$ là một ánh xạ mở và $\Delta_E$ là một tập con mở của $E\times_BE$. Cho $x$ là một điểm của E. Cho V là một lân cận mở của $x$ trong E sao cho $(V\times V)\cap (E\times_BE)$ được chứa trong $\Delta_E$. Khi đó $p|V$ là đơn ánh. Theo Nhận xét 2, I, p. 29, ánh xạ $p$ là étale.

${E'}^{f'}$ E

$p'p$

${B'}^f$ B

là một bình phương Descartes. Nếu ánh xạ $p$ là étale, thì ánh xạ $p'$ là étale. Ngược lại, nếu ánh xạ $p'$ là étale và ánh xạ $f$ là ngặt phổ dụng và toàn ánh, thì ánh xạ $p$ là étale.

Giả sử ánh xạ $p$ là étale. Khi đó, đặc biệt, nó mở và $p'$ mở (I, p. 17, Mệnh đề 8). Xét bình phương Descartes (I, p. 13, Ví dụ 1)

$q'q$

${B'}^fB$. Ta có $\Delta_{E'}=\overset{-1}{\varphi}(\Delta_E)$ (loc. cit.). Hơn nữa, đường chéo $\Delta_E$ mở trong $E\times_BE$ (Mệnh đề 7), do đó đường chéo $\Delta_{E'}$ mở trong $E'\times_{B'}E'$. Điều này chứng minh rằng ánh xạ $p'$ là étale (loc. cit.).

Bây giờ giả sử ánh xạ $f$ là toàn ánh và ngặt phổ dụng và ánh xạ $p'$ là étale. Khi đó $p'$ mở, do đó $p$ mở (I, p. 21, Mệnh đề 11, a)). Mặt khác $\Delta_{E'}$ là một tập con mở của $E'\times_{B'}E'$. Vì $\Delta_{E'}=\overset{-1}{\varphi}(\Delta_E)$ và ánh xạ $\varphi$ là toàn ánh và ngặt (I, p. 20, Định nghĩa 6), $\Delta_E$ mở trong $E\times_BE$. Theo Mệnh đề 7, ánh xạ $p$ là étale.

Cho $(E, p)$ và $(E', p')$ là các B-không gian étale. Ánh xạ pr$_1: E\times_B$ $E'\rightarrow E$ là étale (mệnh đề 8), do đó ánh xạ $p\circ$ pr$_1: E\times_BE'\rightarrow B$ là étale (mệnh đề 6, a)).

Cho $z\in Z$ và $x\in E$ là các điểm sao cho $f(z) =p(x)$. Tồn tại một lân cận W của $z$ trong Z và một nâng liên tục $g$ của $f$ lên E, xác định trên W, sao cho $g(z) =x$.

Tồn tại một lân cận mở V của $p(x)$ trong B và một tiết diện liên tục $s$ của $p$ trên V sao cho $s(p(x)) =x$ (mệnh đề 9). Tập hợp

$W =\overset{-1}{f}(V)$ là một lân cận mở của $z$ và ánh xạ $g=s\circ (f|W)$ là một nâng liên tục của $f$ lên E, xác định trên W và sao cho $g(z) =x$.

a) Nếu ánh xạ $p$ là tách, W đóng.

b) Nếu ánh xạ $p$ là étale, W mở.

Ta ký hiệu $h$ là ánh xạ liên tục $(g, g'): Z\rightarrow E\times E$. Ảnh của $h$ được chứa trong $E\times_BE$ vì $p\circ g=f=p\circ g'$ và tập hợp W các điểm của Z tại đó $g$ và $g'$ trùng nhau là ảnh ngược qua $h$ của đường chéo $\Delta_E$.

Nếu ánh xạ $p$ là étale, đường chéo $\Delta_E$ mở trong $E\times_BE$ (I, p. 31, mệnh đề 7), do đó tập hợp W mở trong Z.

Nếu ánh xạ $p$ là tách, đường chéo $\Delta_E$ đóng trong $E\times_BE$ (I, p. 25, định nghĩa 1) và tập hợp W đóng trong Z.

Thực vậy, nếu $f: E\rightarrow E$ là một B-cấu xạ, tập hợp các điểm tại đó $f$ và Id$_E$ trùng nhau bằng E hoặc tập rỗng theo Hệ quả 1.

Theo Hệ quả 1, các hạn chế của $g_1$ và $g_2$ lên $U_1\cap U_2$ bằng nhau. Ánh xạ $g: U_1\cup U_2\rightarrow E$ xác định bởi $g(z) =g_i(z)$ với $z\in U_i(i= 1$, 2) là một nâng liên tục của $f$ xác định trên $U_1\cup U_2$ (TG, I, p. 19, Mệnh đề 4).

Trong các kết quả trên, trường hợp riêng trong đó Z = B và $f=$ Id$_B$ là quan trọng: khi đó các nâng liên tục của $f$ là các tiết diện liên tục của $p$.

Điều kiện này là cần thiết (Mệnh đề 11, I, p. 34). Ta hãy chứng minh rằng nó là đủ. Cho $b$ là một điểm của B, cho $x$ và $x'$ là hai điểm phân biệt của E sao cho $p(x) =p(x') =b$. Cho V là một lân cận mở của $b$ và $s,s'$ là các tiết diện liên tục của $p$ trên V sao cho $s(V)$ và $s'(V)$ lần lượt là các lân cận mở của $x$ và $x'$ (Mệnh đề 9). Theo giả thiết, tập hợp W các điểm $x\in V$ sao cho $s(x)=\not s'(x)$ là mở trong V, do đó trong B. Các tập hợp $s(W)$ và $s'(W)$ lần lượt là các lân cận mở của $x$ và $x'$; chúng rời nhau theo phép dựng. Điều này chứng minh rằng ánh xạ $p$ tách được (I, p. 25, Định nghĩa 1).

Vì hạn chế của $s$ lên $U\times \{y_1\}$ là liên tục và ánh xạ $f$ là étale, tồn tại một lân cận $U'$ của $x_1$ sao cho $s(x, y_1) =\sigma (x, y_1)$ với mọi $x\in U'($I, p. 34, prop. 11, b)). Cho $x\in U'$; vì hạn chế của $s$ lên $\{x\} \times V$ là liên tục và ánh xạ $f$ là étale và tách, theo Hệ quả 1, I, p. 34, ta có $\sigma (x, y) =s(x, y)$ với mọi $y\in V$. Do đó $s$ và $\sigma$ trùng nhau trên $U'\times V$.

Bây giờ chứng minh định lý. Trước hết, hãy chứng minh rằng ánh xạ $s$ liên tục trong một lân cận của mọi điểm của $X\times \{y_0\}$. Cho $x_0\in$ X; ta có thể chọn một lân cận mở $U$ của $x_0$ trong $X$, một lân cận mở liên thông $V$ của $y_0$ trong $Y$, và một tiết diện liên tục $\sigma : U\times V\rightarrow Z$ của $f$ sao cho $\sigma (x_0, y_0) =s(x_0, y_0)$. Theo bổ đề trên, $s$ liên tục trong một lân cận của $(x_0, y_0)$.

Bây giờ hãy chứng minh rằng ánh xạ $s$ liên tục tại mọi điểm của $X\times Y$. Với $x_0\in X$, ký hiệu $C(x_0)$ là tập hợp các điểm $y\in$ Y sao cho $s$ liên tục trong một lân cận của $(x_0, y)$. Theo định nghĩa, tập hợp $C(x_0)$ là mở trong $Y$, và chứa $y_0$ theo điều đã chứng minh ở trên.

Ta chứng minh rằng nó đóng trong Y. Xét một điểm $y_1$ của Y dính với $C(x_0)$, một lân cận mở U của $x_0$ trong X, một lân cận mở V của $y_1$ trong Y, và một tiết diện liên tục $\sigma : U\times V\rightarrow Z$ của $f$ sao cho $\sigma (x_0, y_1) =s(x_0, y_1)$. Vì hạn chế của $s$ lên $\{x_0\} \times V$ là liên tục và $f$ là étale, tồn tại một lân cận mở $V'$ của $y_1$ trong Y sao cho $\sigma (x_0, y) =s(x_0, y)$ với mọi $y\in V'$ (mệnh đề 11 của I, p. 34). Vì Y liên thông địa phương, ta có thể giả sử rằng $V'$ liên thông. Vì $y_1$ dính với $C(x_0)$, tập hợp $C(x_0)\cap V'$ không rỗng; lấy $y_2$ là một điểm của $C(x_0)\cap V'$. Theo bổ đề áp dụng cho $(x_0, y_2)$, tồn tại một lân cận $U'$ của $x_0$ được chứa trong U sao cho $s=\sigma$ trên $U'\times V'$. Điều này chứng minh rằng $C(x_0)$ đóng, vì $U'\times V'$ là một lân cận của $(x_0, y_1)$. Vì Y liên thông, ta có $C(x_0) = Y$, và điều này đúng với mọi $x_0\in X$, do đó định lý.

Ký hiệu Z là tích sợi $(X\times Y)\times_BE$ và $f: Z\rightarrow X\times Y,h': Z\rightarrow E$ là các phép chiếu chính tắc. Ánh xạ $f$ là étale (I, p. 31, mệnh đề 8) và tách (I, p. 27, mệnh đề 4). Ánh xạ $s: X\times Y\rightarrow$ Z được xác định bởi $s(x, y) = ((x, y), g(x, y))$ là một tiết diện của $f$ thỏa mãn các giả thiết của định lý 1. Do đó nó liên tục, cũng như $g=h'\circ s$.

(i) A có một hệ cơ bản các lân cận paracompact;

(ii) B là paracompact và A đóng;

(iii) B mêtric hóa được;

(iv) A compact và hai điểm phân biệt của A có các lân cận rời nhau trong B.

Khi đó mọi tiết diện liên tục trên A của một ánh xạ étale $p: E\rightarrow B$ đều mở rộng thành một tiết diện liên tục của p trên một lân cận của A.

Xét tính chất sau đây (PCV) của cặp $(B,A)$:

(PCV) Với mọi phủ $(U_i)_{i\in I}$ của A bởi các tập con mở

của B, tồn tại một lân cận V của A và một họ

hữu hạn địa phương $(F_j)_{j\in J}$ các tập con đóng của V phủ V, sao cho

mỗi $F_j$ được chứa trong một trong các $U_i$.

Định lý 2 suy ra từ các Bổ đề 1 và 3 dưới đây.

Cho $(U_i)_{i\in I}$ là một phủ mở của A bởi các tập mở của B. Theo giả thiết (i), tồn tại một lân cận V của A có tính chất paracompact được chứa trong hợp của các $U_i$, một phủ mở $(U'_j)_{j\in J}$ của không gian V, hữu hạn địa phương và mịn hơn phủ $(V\cap U_i)_{i\in I}$, và một phủ mở $(U''_j)_{j\in J}$ của không gian V sao cho với mọi $j\in J$, bao đóng $F_j$ của $U''_j$ trong V được chứa trong $U'_j$ (TG, IX, p. 49, prop. 4 và p. 48, cor. 1 to th. 3). Do đó, trong trường hợp này có tính chất (PCV).

Điều kiện (ii) suy ra điều kiện (i) theo Hệ quả 2 của TG, IX, p. 50. Tương tự, điều kiện (iii) suy ra điều kiện (i): thật vậy, nếu B khả mêtric, mọi lân cận của A đều khả mêtric, do đó có tính chất paracompact (TG, IX, p. 51, th. 4).

Cuối cùng, giả sử điều kiện (iv) được thỏa mãn, và ta chứng minh rằng tính chất (PCV) được thỏa mãn. Vì A compact, chỉ cần xét trường hợp một phủ hữu hạn $(U_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$. Khi đó ta xây dựng bằng quy nạp các tập mở $V_0, . . . ,V_n$ của B thỏa mãn các điều kiện sau với $0\leqslant i\leqslant n:$

Giả sử rằng $V_0, . . . ,V_{r-1}$ đã được xây dựng thỏa mãn các điều kiện trên với $0\leqslant i\leqslant r-1$, và ta xây dựng $V_r$. Các tập K = $A\cap \complement U_r$ và $L = A\cap \complement (V_0\cup \cdots \cup V_{r-1}\cup U_{r+1}\cup \cdots \cup U_n)$ là đóng trong A, do đó compact. Theo $(\alpha )$, chúng rời nhau. Theo giả thiết, với mọi điểm $a$ của L và mọi điểm $b$ của K, tồn tại các lân cận rời nhau của $a$ và $b$ trong B. Theo Bổ đề 2 dưới đây, tồn tại các tập mở rời nhau $V_r$ và W trong B sao cho $L\subset V_r$ và $K\subset W$. Từ các bao hàm $L\subset V_r$ và $A\subset V_0\cup \cdots \cup V_{r-1}\cup U_r\cup \cdots \cup U_n$ và từ định nghĩa của L, suy ra $(\alpha )$ đúng với $i=r$. Mặt khác, ta có $\overline{V_r}\cap K =\emptyset$, do đó $\overline{V_r}\cap A\subset U_r$.

Tập $M =\bigcup_{0\leqslant i\leqslant n}(V_i\cap \complement U_i)$ là đóng và không gặp A theo $(\beta )$. Theo $(\alpha )$, tập $V =((\bigcup_{0\leqslant i\leqslant n}\overline{V_i})-$ M là một lân cận của A trong B. Với $i= 0, . . . , n$, đặt $F_i= V\cap \overline{V_i}:$ đây là một tập con đóng của V, được chứa trong $U_i$. Họ $(F_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ là một phủ của V, do đó có tính chất (PCV).