§ 3. Bó

1. Bó các tập hợp

Cho B là một không gian tôpô.

Nói cách khác (E, III, p. 52), một tiền bó $\mathscr{F}$ trên B tương đối với $\mathscr{B}$ là một cặp $((\mathscr{F}(U))_{U\in\mathscr{B}},(f_{UV}))$, cũng được ký hiệu là $(\mathscr{F}(U), f_{UV})$, trong đó $((\mathscr{F}(U))_{U\in\mathscr{B}}$ là một họ các tập hợp có $\mathscr{B}$ làm tập hợp chỉ số và với mỗi cặp $(U,V)$ các phần tử của $\mathscr{B}$ sao cho $U\subset V,f_{UV}$ là một ánh xạ từ $\mathscr{F}(V)$ vào $\mathscr{F}(U)$, các ánh xạ này thỏa mãn các điều kiện sau:

(PF$_1$) Các quan hệ $U\subset V\subset W$ kéo theo $f_{UW}=f_{UV}\circ f_{VW}$;

(PF$_2$) Với mọi tập hợp mở U $\in \mathscr{B},f_{UU}$ là ánh xạ đồng nhất của

Một tiền bó trên B tương đối với tập hợp các tập con mở của B được gọi đơn giản là một tiền bó trên B.

Cho $\mathscr{F}= (\mathscr{F}(U), f_{UV})$ là một tiền bó trên B, tương đối với một cơ sở $\mathscr{B}$ của tôpô trên B. Cho U là một phần tử của cơ sở $\mathscr{B}$. Các phần tử của $\mathscr{F}(U)$ được gọi là các thiết diện của $\mathscr{F}$ trên U. Nếu V là một phần tử của cơ sở $\mathscr{B}$ chứa U và $s$ là một phần tử của $\mathscr{F}(V)$, thì phần tử $f_{UV}(s)$ của $\mathscr{F}(U)$ được gọi là hạn chế của $s$ trên U. Nếu không có nguy cơ nhập nhằng đối với các ánh xạ $f_{UV}$, hạn chế của $s$ trên U sẽ được ký hiệu là $s|U$.

Cho $B'$ là một tập con mở của B và $\mathscr{B}'$ là một cơ sở của tôpô trên $B'$ sao cho $\mathscr{B}'\subset \mathscr{B}$. Tiền bó trên $B'$, tương đối với $\mathscr{B}'$, suy ra từ $\mathscr{F}$ bằng hạn chế, được gọi là hạn chế của $\mathscr{F}$ lên $\mathscr{B}'$ và được ký hiệu là $\mathscr{F}|\mathscr{B}'$, tức hệ xạ ảnh $((\mathscr{F}(U))_{U\in\mathscr{B}'},(f_{UV}))$ suy ra từ $\mathscr{F}$ bằng cách hạn chế tập hợp chỉ số xuống $\mathscr{B}'$ (loc. cit.). Khi $\mathscr{F}$ là một tiền bó trên B và $\mathscr{B}'$ là tập hợp các tập con mở của $B'$, tiền bó $\mathscr{F}|\mathscr{B}'$ cũng được ký hiệu là $\mathscr{F}|B'$ và được gọi là tiền bó suy ra từ $\mathscr{F}$ bằng hạn chế lên $B'$.

$(F_1)$ Ánh xạ $(f_{U_iU})_{i\in I}:\mathscr{F}(U)\rightarrow \prod_{i\in I}\mathscr{F}(U_i)$ là đơn ánh ;

$(F_2)$ Với mọi họ $(s_i)\in \prod_{i\in I}\mathscr{F}(U_i)$ sao cho $f_{(U_i\cap U_j)U_i}(s_i) =$

$f_{(U_i\cap U_j)U_j}(s_j)$ với mọi cặp $(i, j)\in I\times I$, tồn tại một phần tử $s$

của $\mathscr{F}(U)$ sao cho với mọi $i\in I$, ta có $f_{U_iU}(s) =s_i$.

2. Các bó con của một bó

Cho B là một không gian tôpô. Cho $\mathscr{F}= (\mathscr{F}(U), f_{UV})$ là một tiền bó trên B, đối với một cơ sở $\mathscr{B}$ của tôpô của B.

Giả sử với mọi tập hợp mở $U\in \mathscr{B}$, đã cho một tập con $\mathscr{L}(U)$ của $\mathscr{F}(U)$. Nếu ta có $f_{UV}(\mathscr{L}(V))\subset \mathscr{L}(U)$ với mọi cặp $(U,V)$ các phần tử của $\mathscr{B}$ sao cho $U\subset V$, thì cặp $\mathscr{L}= ((\mathscr{L}(U))_{U\in\mathscr{B}},(f'_{UV}))$, trong đó $f'_{UV}:\mathscr{L}(V)\rightarrow \mathscr{L}(U)$ là ánh xạ suy ra từ $f_{UV}$, là một tiền bó. Một tiền bó như vậy được gọi là một tiền bó con của $\mathscr{F}$. Vì các ánh xạ $f'_{UV}$ được xác định bởi tiền bó đã cho $\mathscr{F}$ và họ $(\mathscr{L}(U))_{U\in\mathscr{B}}$, nên người ta cũng nói, do lạm dụng ngôn ngữ, rằng họ $(\mathscr{L}(U))_{U\in\mathscr{B}}$ là một tiền bó con của $\mathscr{F}$.

Bây giờ giả sử rằng $\mathscr{F}$ là một bó trên B và cho, với mọi tập con mở U của B$,\mathscr{L}(U)$, một tập con của $\mathscr{F}(U)$. Để cho $(\mathscr{L}(U))_{U\in\mathscr{B}}$ là một tiền bó con của $\mathscr{F}$, và để cho tiền bó này là một bó, điều kiện sau đây là cần và đủ:

(F) Cho $(U_i)_{i\in I}$ là một họ các tập hợp mở của B, U là hợp của chúng, và $s$ là một

phần tử của $\mathscr{F}(U)$. Để $s$ thuộc $\mathscr{L}(U)$, điều kiện cần và

đủ là với mọi $i$ trong I$,f_{U_iU}(s)$ thuộc $\mathscr{L}(U_i)$.

Thật vậy, nếu điều kiện (F) được thỏa mãn, ta có $f_{UV}(\mathscr{L}(V))\subset \mathscr{L}(U)$ với mọi cặp $(U,V)$ các tập mở của B sao cho $U\subset V$ và các tính chất $(F_1)$ và $(F_2)$ đối với tiền bó con $(\mathscr{L}(U))$ suy ra từ các tính chất tương tự đối với bó $\mathscr{F}$. Đảo lại là ngay lập tức.

Khi điều kiện (F) được thỏa mãn, ta nói rằng $(\mathscr{L}(U))$ là một bó con của bó $\mathscr{F}$.

3. Ví dụ về các bó

Cho B là một không gian tôpô.

1) Các bó ánh xạ

Cho X là một tập hợp. Với mọi tập mở U của B, ký hiệu bởi $\mathscr{F}(U; X)$ tập hợp các ánh xạ từ U vào X (E, II, p. 31). Với mọi cặp $(U,V)$ các tập mở của B sao cho $U\subset V$, đặt $r_{UV}:\mathscr{F}(V; X)\rightarrow$ $\mathscr{F}(U; X)$ là ánh xạ hạn chế $f\mapsto f|U$. Hiển nhiên cặp $(\mathscr{F}(U; X), r_{UV})$ là một bó trên B. Nó được gọi là bó trên B của các ánh xạ nhận giá trị trong X, và được ký hiệu bởi $\mathscr{F}(B; X)$.

2) Các bó ánh xạ liên tục

Cho X là một không gian tôpô. Với mọi tập mở U của B, đặt $\mathscr{C}(U; X)$ là tập hợp các ánh xạ liên tục từ U vào X. Khi đó, $(\mathscr{C}(U; X))$ là một bó con của bó $\mathscr{F}(B; X)$ theo mệnh đề 4 của TG, I, p. 19. Bó nhận được như vậy được ký hiệu bởi $\mathscr{C}(B; X)$ và gọi là bó trên B của các ánh xạ liên tục nhận giá trị trong X. Trong trường hợp riêng khi X được trang bị tôpô rời rạc, bó $\mathscr{C}(B; X)$ được gọi là bó trên B của các ánh xạ địa phương hằng nhận giá trị trong X.

3) Các bó tiết diện liên tục

Cho E là một không gian tôpô và cho $p: E\rightarrow B$ là một ánh xạ liên tục. Với mọi tập mở U của B, ký hiệu bởi $\mathscr{S}(U;p)$ (hoặc $\mathscr{S}(U; E)$ khi không thể có sự nhầm lẫn) tập hợp các tiết diện liên tục của $p$ trên U. Họ $(\mathscr{S}(U;p))$ là một bó con của bó $\mathscr{C}(B; E)$. Bó nhận được như vậy được ký hiệu bởi $\mathscr{S}(B; E)$ hoặc đơn giản là $\mathscr{S}(E)$ và gọi là bó trên B của các tiết diện liên tục của B-không gian $(E, p)$. Ta sẽ thấy ở no$^o6$ dưới đây rằng mọi bó trên B đều đẳng cấu với bó trên B của các tiết diện liên tục của một B-không gian étalé.

4) Các bó cấu xạ B

Cho $(E, p)$ và $(E', p')$ là các B-không gian. Với mọi tập mở U của E, ký hiệu bởi $\mathscr{C}_B(U; E')$ tập hợp các B-cấu xạ từ $(U, p|U)$ vào $(E', p')$. Họ $(\mathscr{C}_B(U; E'))$ là một bó con của bó $\mathscr{C}(E; E')$. Bó nhận được như vậy được ký hiệu bởi $\mathscr{C}_B(E; E')$ và gọi là bó trên E của các B-cấu xạ nhận giá trị trong $(E', p')$. Khi $(E, p)$ bằng với $(B$, Id$_B)$, bó này là bó $\mathscr{S}(B; E)$ của ví dụ 3.

Với mọi tập mở U của B, đặt $\mathscr{M}(U)$ là tập hợp các U-cấu xạ

từ $\overset{-1}{p}(U)$ vào $(^-{p'}^1)(U)$. Với mọi cặp $(U,V)$ các tập mở của B sao cho $U\subset V$, đặt $m_{UV}:\mathscr{M}(V)\rightarrow \mathscr{M}(U)$ là ánh xạ mà với một V-cấu xạ

$f:\overset{-1}{p}(V)\rightarrow (^-{p'}^1)(V)$ nó gán U-cấu xạ từ $\overset{-1}{p}(U)$ vào $(^-{p'}^1)(U)$ suy ra từ $f$ bằng cách chuyển qua các tập con. Khi đó $(\mathscr{M}(U), m_{UV})$ là một bó trên B. Nó được ký hiệu bởi $\mathscr{M}$or$_B(E; E')$ và được gọi là bó trên B của các B-cấu xạ từ $(E, p)$ vào $(E', p')$.

Với mọi tập mở U của B, gọi $\mathscr{I}$s(U) là tập con của $\mathscr{M}(U)$

gồm các U-đẳng cấu của $\overset{-1}{p}(U)$ vào $(^-{p'}^1)(U)$. Họ $(\mathscr{I}$s(U)) là một bó con của bó $\mathscr{M}$or$_B(E; E')$ các cấu xạ từ $(E, p)$ vào $(E', p')$. Bó do đó thu được được ký hiệu là $\mathscr{I}$som$_B(E; E')$ và được gọi là bó trên B các B-đẳng cấu từ $(E, p)$ vào $(E', p')$.

5) Các bó các ánh xạ lớp $C^r$

Cho X và Y là các đa tạp lớp $C^r$ trên một trường K (các quy ước liên quan đến K và $r$ là những quy ước của VAR, R). Với mọi tập mở U của X, gọi $\mathscr{C}^r(U; Y)$ là tập hợp các cấu xạ lớp $C^r$ từ U vào Y. Họ $(\mathscr{C}^r(U; Y))$ là một bó con của bó $\mathscr{C}(X; Y)$. Bó do đó thu được được ký hiệu là $\mathscr{C}^r(X; Y)$ và được gọi là bó trên X của các ánh xạ lớp $C^r$ nhận giá trị trong Y (xem VAR, R, 5.4.2).

6) Các bó các không gian con

Nếu U và V là các tập mở của B sao cho $U\subset V$, ký hiệu bởi $i_{UV}:\mathfrak{P}(V)\rightarrow$ $\mathfrak{P}(U)$ ánh xạ gán cho mỗi tập con A của V tập hợp $A\cap U$. Cặp $(\mathfrak{P}(U), i_{UV})$ là một bó, gọi là bó các không gian con của B và được ký hiệu là $\mathfrak{P}(B)$. Thật vậy, nếu X ký hiệu tập hợp $\{0; 1\}$, thì ánh xạ gán cho mỗi tập con A của U hàm đặc số của nó $\varphi^U_A: U\rightarrow X$ là một song ánh từ $\mathfrak{P}(U)$ lên $\mathscr{F}(U; X)$ (E, III, p. 38) ; hơn nữa, nếu U và V là các tập mở sao cho $U\subset V$, thì với mọi tập con A của V$,\varphi^U_{A\cap U}$ là hạn chế trên U của $\varphi^V_A$ để cho $\mathfrak{P}(B)$ được đồng nhất với bó trên B của các ánh xạ nhận giá trị trong X.

Gọi, với mọi tập mở U của B$,\mathscr{L}(U)$ là một tập con của $\mathfrak{P}(U)$. Để $(\mathscr{L}(U))$ là một bó con của $\mathfrak{P}(B)$, điều kiện sau đây là cần và đủ:

$(F')$ Cho $(U_i)_{i\in I}$ là một họ các tập mở của B, U là hợp của chúng, và A là một

tập con của U ; để A thuộc $\mathscr{L}(U)$, điều kiện cần và

đủ là với mọi $i$ trong I, $A\cap U_i$ thuộc $\mathscr{L}(U_i)$.

Ví dụ, nếu $\mathscr{L}(U)$ là tập hợp các tập con đóng của U, thì điều kiện $(F')$ được thỏa mãn.

7) Tích của các bó

Cho $\mathscr{B}$ là một cơ sở của tôpô của B và I là một tập hợp. Với mọi $i\in I$, cho $\mathscr{F}_i= (\mathscr{F}_i(U), f_{i,UV})$ là một tiền bó trên B đối với cơ sở $\mathscr{B}$. Với mọi tập mở $U\in \mathscr{B}$, đặt $\mathscr{F}(U) =\prod_{i\in I}\mathscr{F}_i(U)$, và với mọi cặp $(U,V)$ gồm các phần tử của $\mathscr{B}$ sao cho $U\subset V$, ký hiệu bởi $f_{UV}$ ánh xạ $(f_{i,UV})_{i\in I}:\mathscr{F}(V)\rightarrow \mathscr{F}(U)$. Khi đó $(\mathscr{F}(U), f_{UV})$ là một tiền bó trên B đối với $\mathscr{B}$, gọi là tiền bó tích của họ $(\mathscr{F}_i)$ và được ký hiệu $\prod_{i\in I}\mathscr{F}_i$. Nó là một bó nếu với mọi $i\in I,\mathscr{F}_i$ là một bó.

4. Cấu xạ của các tiền bó

Nói cách khác (E, III, p. 54), một cấu xạ của các tiền bó từ $\mathscr{F}$ đến $\mathscr{G}$ là một họ $(\varphi_U)_{U\in\mathscr{B}}$ sao cho :

(MPF$_1$) Với mọi tập mở U thuộc $\mathscr{B},\varphi_U$ là một ánh xạ

từ $\mathscr{F}(U)$ vào $\mathscr{G}(U)$ ;

(MPF$_2$) Với mọi cặp $(U,V)$ gồm các tập mở thuộc $\mathscr{B}$ sao cho

$U\subset V$, ta có $\varphi_U\circ f_{UV}=g_{UV}\circ \varphi_V$.

Khi $\mathscr{F}$ và $\mathscr{G}$ là các bó, một cấu xạ của các tiền bó từ $\mathscr{F}$ đến $\mathscr{G}$ cũng được gọi là một cấu xạ của các bó. Nếu $\mathscr{F}$ và $\mathscr{G}$ là các tiền bó trên B đối với $\mathscr{B}$, các cấu xạ của các tiền bó từ $\mathscr{F}$ đến $\mathscr{G}$ tạo thành một tập hợp ký hiệu là Mor($\mathscr{F};\mathscr{G}$). Thay vì nói : “cho $\varphi$ là một cấu xạ của các tiền bó từ $\mathscr{F}$ đến $\mathscr{G}$”, người ta thường sẽ nói “cho $\varphi :\mathscr{F}\rightarrow \mathscr{G}$ là một cấu xạ của các tiền bó”.

Cho $\mathscr{F},\mathscr{G},\mathscr{H}$ là các tiền bó trên B đối với $\mathscr{B}$ và cho $\varphi :\mathscr{F}\rightarrow \mathscr{G}$, $\psi :\mathscr{G}\rightarrow \mathscr{H}$ là các cấu xạ của các tiền bó. Họ $(\psi_U\circ \varphi_U)_{U\in\mathscr{B}}$ là một cấu xạ của các tiền bó từ $\mathscr{F}$ vào $\mathscr{H}$, được ký hiệu bởi $\psi \circ \varphi$. Họ (Id$_{\mathscr{F}(U)}$)$_{U\in\mathscr{B}}$ là một cấu xạ của các tiền bó từ $\mathscr{F}$ vào chính nó, được ký hiệu bởi Id$_{\mathscr{F}}$.

Để một cấu xạ của các tiền bó $\varphi = (\varphi_U):\mathscr{F}\rightarrow \mathscr{G}$ là một đẳng cấu, điều kiện cần và đủ là, với mọi tập con mở U của $\mathscr{B},\varphi_U$ là một song ánh từ $\mathscr{F}(U)$ lên $\mathscr{G}(U)$. Điều đó tương đương với việc nói rằng tồn tại một cấu xạ của các tiền bó $\psi :\mathscr{G}\rightarrow \mathscr{F}$ sao cho $\psi \circ \varphi =$ Id$_{\mathscr{F}}$ và $\varphi \circ \psi =$ Id$_{\mathscr{G}}$.

Cho $\mathscr{F}$ và $\mathscr{G}$ là các tiền bó trên B, đối với một cơ sở $\mathscr{B}$ của tôpô trên B, cho $B'$ là một tập con mở của B và cho $\mathscr{B}'$ là một cơ sở của tôpô của $B'$ sao cho $\mathscr{B}'\subset \mathscr{B}$. Cho $\varphi = (\varphi_U)_{U\in\mathscr{B}}$ là một cấu xạ của các tiền bó từ $\mathscr{F}$ vào $\mathscr{G}$. Khi đó $(\varphi_U)_{U\in\mathscr{B}'}$ là một cấu xạ của các tiền bó từ $\mathscr{F}|\mathscr{B}'$ vào $\mathscr{G}|\mathscr{B}'$, được ký hiệu bởi $\varphi |\mathscr{B}'$. Khi $\mathscr{B}$ là tập hợp các tập con mở của B và $\mathscr{B}'$ là tập hợp các tập con mở của $B',\varphi |\mathscr{B}'$ là một cấu xạ của các tiền bó từ $\mathscr{F}|B'$ vào $\mathscr{G}|B'$ và cũng được ký hiệu bởi $\varphi |B'$.

5. Không gian étale liên kết với một tiền bó

Cho B là một không gian tôpô, $\mathscr{B}$ một cơ sở của tôpô trên B và $\mathscr{F}= (\mathscr{F}(U), r_{UV})$ một tiền bó trên B đối với cơ sở $\mathscr{B}$. Gọi L là tập hợp các cặp $(U, s)$ với U $\in \mathscr{B}$ và $s\in \mathscr{F}(U)$. Gọi $X_{\mathscr{F}}$ là không gian tổng của họ $(U)_{(U,s)\in L}$. Như vậy $X_{\mathscr{F}}$ là tập hợp các bộ ba $(U, s, x)$ trong đó $U\in \mathscr{B},s\in \mathscr{F}(U),x\in U$. Gọi $R_{\mathscr{F}}$ là quan hệ trên tập hợp $X_{\mathscr{F}}$ được xác định bởi $R_{\mathscr{F}}((U, s, x),(U', s', x'))$ khi và chỉ khi « $x$ = $x'$ và tồn tại W $\in \mathscr{B}$ sao cho $x\in W$, W $\subset U\cap U'$ và $r_{WU}(s) =r_{WU'}(s')$ ». Quan hệ $R_{\mathscr{F}}$ là một quan hệ tương đương trên $X_{\mathscr{F}}:$ theo định nghĩa, nó phản xạ và đối xứng; hãy chứng minh rằng nó bắc cầu. Gọi $\xi = (U, s, x),\xi '= (U', s', x')$ và $\xi ''$ = $(U'', s'', x'')$ là các phần tử của $X_{\mathscr{F}}$ sao cho ta có $R_{\mathscr{F}}(\xi , \xi ')$ và $R_{\mathscr{F}}(\xi ', \xi '')$. Khi đó ta có $x=x'$ = $x''$ và tồn tại hai phần tử $W'$ và $W''$ của $\mathscr{B}$ chứa $x$ sao cho $W'\subset U\cap U',W''\subset U'\cap U'',r_{W'U}(s) =$ $r_{W'U'}(s'),r_{W''U'}(s') =r_{W''U''}(s'')$. Gọi W là một phần tử của $\mathscr{B}$ chứa $x$ và được chứa trong $W'\cap W''$. Khi đó ta có $W\subset U\cap U''$,

và, tương tự, $r_{WU'}(s') =r_{WU''}(s'')$. Do đó, ta có $R_{\mathscr{F}}(\xi , \xi '')$ và quan hệ $R_{\mathscr{F}}$ là bắc cầu.

Kí hiệu $E_{\mathscr{F}}$ là tập thương $X_{\mathscr{F}}/R_{\mathscr{F}}$ và $[U, s, x]$ là ảnh chính tắc trong $E_{\mathscr{F}}$ của một phần tử $(U, s, x)$ của $X_{\mathscr{F}}$. Với $U\in \mathscr{B}$ và $s\in \mathscr{F}(U)$, kí hiệu $\sigma_{\mathscr{F}}(U, s): U\rightarrow E_{\mathscr{F}}$ là ánh xạ $x\mapsto [U, s, x]$. Trang bị cho tập hợp $E_{\mathscr{F}}$ tôpô thương, nghĩa là tôpô mịn nhất để các ánh xạ $\sigma_{\mathscr{F}}(U, s)$ với $U\in \mathscr{B}$ và $s\in \mathscr{F}(U)$ đều liên tục. Ánh xạ pr$_3: X_{\mathscr{F}}\rightarrow B$ xác định, sau khi chuyển qua thương, một ánh xạ liên tục $p: E_{\mathscr{F}}\rightarrow B$ : ta có $p([U, s, x]) =x$.

Cho $a$ là một điểm của B. Tập hợp $\mathscr{B}(a)$ các tập mở $U\in \mathscr{B}$ chứa $a$ và có thứ tự bởi quan hệ $\supset$ là lọc được. Từ $\mathscr{F}$ suy ra, bằng hạn chế của tập hợp chỉ số vào $\mathscr{B}(a)$, một hệ quy nạp $((\mathscr{F}(U))_{U\in\mathscr{B}(a)},(r_{UV}))$. Theo định nghĩa (E, III, p. 60), giới hạn quy nạp của hệ này là thương của tập hợp các cặp $(U, s)$ sao cho $a\in U$ và $s\in \mathscr{F}(U)$ theo quan hệ tương đương R được định nghĩa bởi $R((U, s),(U', s'))$ khi và chỉ khi tồn tại W $\in \mathscr{B}$ chứa $a$ và được chứa trong $U\cap U'$ sao cho $r_{WU}(s) =r_{WU'}(s')$. Vậy giới hạn này được đồng nhất với stalk $\mathscr{F}_a$ của $\mathscr{F}$ tại $a$, theo định nghĩa của giới hạn quy nạp.

Cho $\mathscr{G}$ là một tiền bó trên B đối với cơ sở $\mathscr{B}$ và cho $\varphi = (\varphi_U)_{U\in\mathscr{B}}$ là một cấu xạ tiền bó từ $\mathscr{F}$ vào $\mathscr{G}$. Ánh xạ $(U, s, x)\mapsto$ $(U, \varphi_U(s), x)$ từ $X_{\mathscr{F}}$ vào $X_{\mathscr{G}}$ là tương thích với các quan hệ tương đương $R_{\mathscr{F}}$ và $R_{\mathscr{G}}$, theo định nghĩa của một cấu xạ tiền bó. Ký hiệu bởi $E(\varphi ): E_{\mathscr{F}}\rightarrow E_{\mathscr{G}}$ ánh xạ suy ra từ đó bằng cách chuyển qua các thương. Với mọi $U\in \mathscr{B}$ và mọi $s\in \mathscr{F}(U)$, ta có

do đó, ánh xạ $E(\varphi )$ là liên tục. Ánh xạ $E(\varphi )$ là một cấu xạ B; nó được gọi là cấu xạ B của $E_{\mathscr{F}}$ vào $E_{\mathscr{G}}$ liên kết với cấu xạ của các tiền bó $\varphi$. Với mọi $a\in B$, bằng hạn chế vào các thớ tại $a$, $E(\varphi )$ xác định một ánh xạ của thân $\mathscr{F}_a$ của $\mathscr{F}$ vào thân $\mathscr{G}_a$ của $\mathscr{G}$; nó được ký hiệu bởi $\varphi_a$. Nó cũng là giới hạn quy nạp của các ánh xạ $\varphi_U$ (E, III, p. 63), trong đó U chạy qua tập hợp $\mathscr{B}(a)$ các tập mở thuộc cơ sở $\mathscr{B}$ và chứa $a$.

Ta có E(Id$_{\mathscr{F}}$) $=$ Id$_{E_{\mathscr{F}}}$.

Cho $\mathscr{H}$ là một tiền bó trên B đối với $\mathscr{B}$ và cho $\psi = (\psi_U)$ là một cấu xạ các tiền bó từ $\mathscr{G}$ vào $\mathscr{H}$. Với $[U, s, x]\in E_{\mathscr{F}}$, ta có

Do đó, ta có $E(\psi \circ \varphi ) = E(\psi )\circ E(\varphi )$. Đặc biệt, nếu $a$ là một điểm của B, thì $(\psi \circ \varphi )_a=\psi_a\circ \varphi_a$.

Nếu $\varphi$ là một đẳng cấu, thì $E(\varphi )$ cũng vậy.