(i) Ánh xạ $p$ là liên tục và B-không gian $(E, p)$ là một phủ khả tầm thường hóa;

(ii) Tồn tại một phân hoạch $(V_i)_{i\in I}$ của E gồm các tập mở sao cho, với mọi $i\in I$, ánh xạ $p|V_i: V_i\rightarrow B$ là một đồng phôi.

Giả sử điều kiện (i) được thỏa mãn, và cho $g: E\rightarrow B\times F$ là một tầm thường hóa của B-không gian $(E, p)$, có kiểu sợi F. Khi đó F là một không gian tôpô rời rạc và các tập $V_i=\overset{-1}{g}(B\times \{i\})$, với $i\in F$, lập thành một phân hoạch của E gồm các tập mở. Với mọi $i$, ánh xạ $p|V_i: V_i\rightarrow B$ là một đồng phôi, với đồng phôi ngược là ánh xạ $x\mapsto g^{-1}(x, i)$, do đó có điều kiện (ii).

Ngược lại, giả sử rằng điều kiện (ii) được thỏa mãn. Khi đó ánh xạ $p$ là liên tục. Xét ánh xạ từ E vào $B\times I$ gán cho $x\in E$ cặp $(p(x), i)$, trong đó $i$ là phần tử duy nhất của I sao cho $x\in V_i$. Nếu I được trang bị tôpô rời rạc, điều kiện (ii) có nghĩa là ánh xạ này là một B-đẳng cấu và B-không gian $(E, p)$ là một phủ tầm thường hóa được.

Điều này hiển nhiên là cần thiết. Ngược lại, với mọi tiết diện liên tục $s$ của $p$, tập hợp $s(B)$ là mở và ánh xạ $p$ cảm sinh một đồng phôi của $s(B)$ lên B (I, p. 30, Cor. 3 of Prop. 6). Hơn nữa, khi $s$ chạy trong tập hợp $\mathscr{S}(B; E)$ các tiết diện của $p$, các tập hợp $s(B)$ từng đôi một rời nhau, vì B liên thông (I, p. 34, Cor. 1 of Prop. 11). Khi đó suy ra từ mệnh đề 1 rằng nếu các tập hợp $s(B)$ phủ E, thì không gian E là một phủ tầm thường hóa được của B.

Trước hết giả sử rằng B-không gian E và $B'$-không gian $E'$ thừa nhận các phép tầm thường hóa $g: E\rightarrow B\times F,g': E'\rightarrow B'\times F'$; hợp thành của đồng phôi $g\times g'$ từ $E\times E'$ lên $(B\times F)\times (B'\times F')$ và của đồng phôi chính tắc từ $(B\times F)\times (B'\times F')$ lên $(B\times B')\times (F\times F')$ là một phép tầm thường hóa của $B\times B'$-không gian $E\times E'$, có kiểu sợi là $F\times F'$. Nếu F và $F'$ là các không gian rời rạc, thì không gian $F\times F'$ cũng rời rạc.

Trong trường hợp tổng quát, với mọi điểm $(a, a')$ của $B\times B'$, tồn tại một lân cận U của $a$ trong B và một lân cận $U'$ của $a'$ trong $B'$ sao cho U-không gian $E_U$ và $U'$-không gian $E'_{U'}$ có thể tầm thường hóa được. Theo điều đã nói ở trên, suy ra $B\times B'$-không gian $E\times E'$ có thể tầm thường hóa trên $U\times U'$. Vì thế nó là một không gian sợi địa phương tầm thường có cơ sở $B\times B'$. Các sợi của nó là rời rạc nếu E và $E'$ là các phủ, do đó suy ra mệnh đề.

Cần nhận thấy rằng, nếu $(p_i: E_i\rightarrow B_i)_{i\in I}$ là một họ các không gian sợi địa phương tầm thường, hoặc thậm chí các phủ, thì không gian tích $\prod_{i\in I}E_i$ được trang bị ánh xạ $(p_i)_{i\in I}$ không nhất thiết là một không gian sợi địa phương tầm thường có cơ sở $\prod_{i\in I}B_i($I, p. 145, bài tập 3).

Vì tập hợp $E\times_AE'$ là ảnh ngược của $B\times_AB'$ bởi ánh xạ $p\times p': E\times E'\rightarrow B\times B'$, hệ quả suy ra từ mệnh đề 2 và nhận xét 1 (I, p. 68).

${E'}^{f'}$ E

$p'p$

${B'}^f$ B

là một hình vuông Descartes. Nếu $(E, p)$ là một B-không gian sợi địa phương tầm thường ( tương ứng, một phủ), thì $(E', p')$ là một không gian sợi địa phương tầm thường ( tương ứng, một phủ) có cơ sở $B'$, và tầm thường hóa được nếu $(E, p)$ tầm thường hóa được.

Điều này suy ra từ hệ quả 1, áp dụng với B = A và $E'= B'$.

Điều này suy ra từ hệ quả 1, áp dụng cho trường hợp A, B và $B'$ bằng nhau.

${E'}^{f'}$ E

${B'}^f$ B

là một hình vuông Descartes. Giả sử rằng trong một lân cận của mọi điểm của B, ánh xạ $f$ có một tiết diện liên tục. Khi đó, nếu $(E', p')$ là một không gian sợi địa phương tầm thường $B'$-không gian ( tương ứng, một phủ), thì B-không gian $(E, p)$ là một không gian sợi địa phương tầm thường ( tương ứng, một phủ).

Vấn đề là chứng minh rằng mọi điểm $a$ của B đều có một lân cận U sao cho U-không gian cảm sinh bởi $(E, p)$ trên U là một không gian sợi địa phương tầm thường (tương ứng, một phủ). Lấy cho U một lân cận của $a$ trên đó tồn tại một tiết diện liên tục $s$ của $f$. Gọi $i: U\rightarrow B$ và $j:\overset{-1}{p}(U)\rightarrow E$ là các phép nhúng chính tắc. Vì hình vuông (1) là Descartes, tồn tại một ánh xạ liên tục duy nhất $s':\overset{-1}{p}(U)\rightarrow E'$ sao cho $f'\circ s'=j$ và $p'\circ s'=s\circ p_U$. Hình vuông

U $^sB'$

do đó giao hoán và hợp thành của nó với hình vuông (1) là hình vuông Descartes

$\overset{-1}{p}(U)^j$ E

$p_Up$

U $^iB$.

Theo mệnh đề 7 của I, p. 15, hình vuông (2) là Descartes. Hệ quả 2 cho phép kết luận.

Cho G là một không gian tôpô, cho $(F, g)$ là một phủ của G và cho $(E, f)$ là một phủ của F; giả sử rằng các phủ này có một bậc. Nếu G-không gian $(E, g\circ f)$ là một phủ, thì nó có một bậc và ta có deg(E$, g\circ f$) $=$ deg(F$, g$) deg(E$, f$), điều này cũng có thể viết là

Thật vậy, nếu $z$ là một điểm của G, mọi sợi của ánh xạ

đều có lực lượng bằng deg(E$, f$), và $\overset{-1}{g}(z)$ có lực lượng bằng deg(F$, g$). Do đó mệnh đề suy ra từ nguyên lý những người chăn cừu (E, III, p. 41, prop. 9).

Cho B và $B'$ là các không gian tôpô, cho $(E, p)$ là một phủ của B và cho $(E', p')$ là một phủ của $B'$. Giả sử rằng các phủ này có một bậc; khi đó phủ $(E\times E', p\times p')$ của $B\times B'$ (I, p. 71, prop. 2) có một bậc và ta có:

deg(E $\times E', p\times p'$) $=$ deg(E$, p$) deg(E$', p'$).

Thật vậy, với mọi cặp $(b, b')\in B\times B'$, sợi $(E\times E')_{(b,b')}$ là tích $E_b\times E'_{b'}$.

Cho B và $B'$ là các không gian tôpô, $(E, p)$ là một phủ của B, $(E', p')$ là một phủ của $B'$ và cho

${E'}^{f'}$ E

$p'p$

${B'}^f$ B

một hình vuông Descartes. Nếu $B'$ là không rỗng và nếu phép phủ $(E, p)$ có một bậc, thì phép phủ $(E', p')$ có một bậc, bằng bậc của E, sau I, p. 10, hệ quả của mệnh đề 4.

(i) Không gian E, được trang bị ánh xạ $p$, là một phép phủ hữu hạn địa phương của B;

(ii) Ánh xạ $p$ là étale, thực sự và phân ly;

(iii) Ánh xạ $p$ là liên tục, mở và phân ly, các sợi của nó là hữu hạn, và hàm số số $b\mapsto$ Card($\overset{-1}{p}(b)$) là nửa liên tục trên trên B (TG, IV, p. 28).

Chúng ta sẽ dùng bổ đề sau trong chứng minh:

của $y$ sao cho W chứa $\overset{-1}{f}(V)$.

Trong mệnh đề này, ta có thể chỉ xét các lân cận W của $\overset{-1}{f}(y)$ là mở. Ký hiệu bởi F phần bù của W trong Y, khi đó ta có thể phát biểu lại mệnh đề theo cách sau: để một ánh xạ $f: X\rightarrow Y$ là đóng, điều kiện cần và đủ là, với mọi tập con đóng F của X, mọi điểm $y$ của Y không thuộc $f(F)$ đều có một lân cận V rời nhau với $f(F)$. Bây giờ mệnh đề này suy ra ngay lập tức từ định nghĩa của một ánh xạ đóng (TG, I, p. 30, định nghĩa 1).

Bây giờ chứng minh định lý 1. Mỗi một trong ba điều kiện đều kéo theo rằng ánh xạ $p$ là liên tục, mở và phân ly, và thêm nữa các sợi của $p$ là hữu hạn. Điều này là hiển nhiên dưới các giả thiết (i) và (iii); dưới giả thiết (ii), các sợi của $p$ là rời rạc (I, p. 29, nhận xét 2) và quasi-compact (TG, I, p. 75, định lý 1), do đó hữu hạn (TG, I, p. 60, ví dụ 1).

(i)$\Rightarrow$(ii) : chỉ cần chứng minh rằng $p$ là thực sự và, để làm điều đó, rằng với mọi tập mở U trên đó phép phủ $(E, p)$ là khả tầm thường hóa, ánh xạ $p_U:\overset{-1}{p}(U)\rightarrow U$ là thực sự (TG, I, p. 72, mệnh đề 3). Vì các sợi của $p_U$ là hữu hạn, mệnh đề sau cùng suy ra từ hệ quả 5 của TG, I, p. 77.

(ii)$\Rightarrow$(iii) : cho $b$ là một điểm của B và, với mọi $x\in \overset{-1}{p}(b)$, cho $W_x$ là một lân cận mở của $x$ trong E sao cho $p|W_x$ là đơn ánh. Tập hợp $W =\bigcup_{x\in\overset{-1}{p}(b)}W_x$ là một lân cận mở của $\overset{-1}{p}(b)$. Vì ánh xạ $p$ là đóng, theo bổ đề trên tồn tại một lân cận mở U của $b$ sao cho $\overset{-1}{p}(U)\subset W$. Với mọi $a\in U$, ta có $\overset{-1}{p}(a)\subset W$; vì hạn chế của $p$ lên mỗi $W_x$ là đơn ánh, suy ra Card($\overset{-1}{p}(a)$)$\leqslant$ Card($\overset{-1}{p}(b)$), điều này chứng minh tính nửa liên tục trên của ánh xạ $a\mapsto$ Card($\overset{-1}{p}(a)$).

(iii)$\Rightarrow$(i): cho $b$ là một điểm của B. Vì thớ $E_b=\overset{-1}{p}(b)$ là hữu hạn và ánh xạ $p$ là tách, ta có thể chọn, với mỗi $x\in E_b$, một lân cận mở $V'_x$ của $x$ sao cho các $V'_x$ từng đôi một rời nhau (I, p. 26, nhận xét 4). Vì ánh xạ $p$ là mở và tập hợp $E_b$ hữu hạn, tập hợp $U'=\bigcap_{x\in E_b}p(V'_x)$ là một lân cận mở của $b$ trong B. Gọi U là một lân cận mở của $b$ trong B, được chứa trong $U'$ và sao cho với mọi $a\in U$, Card(E$_a$)$\leqslant$ Card(E$_b$). Với mỗi $x\in E_b$, đặt $V_x= V'_x\cap \overset{-1}{p}(U)$. Cho $a$ là một điểm của U; các tập hợp $E_a\cap V_x$, với $x\in E_b$, là khác rỗng và từng đôi một rời nhau. Do đó mỗi tập hợp ấy chứa một phần tử duy nhất và chúng tạo thành một phân hoạch của $E_a$. Điều đó cho thấy rằng, với mỗi $x\in E_b$, ánh xạ $p|V_x$ là đơn ánh và ta có $\overset{-1}{p}(U) =\bigcup_{x\in E_b}V_x$. Vì ánh xạ $p$ là mở, nó cảm sinh một đồng phôi của $V_x$ lên U và do đó, $(E, p)$ là một phủ của B (I, p. 70, hệ quả 1 của mệnh đề 1).

Tập hợp F các điểm của E tại đó ánh xạ $p$ không étale là đóng trong E (I, p. 29, nhận xét 1). Ảnh của nó $p(F)$ là đóng vì ánh xạ $p$ là riêng; do đó phần bù U của $p(F)$ là mở. Ánh xạ $p_U$ là tách (I, p. 27, mệnh đề 4) và riêng (TG, I, p. 72, mệnh đề 3). Theo phép dựng, ánh xạ $p_U$ là étale; vì vậy nó thỏa mãn điều kiện (ii) của định lý 1.

Ánh xạ $p$ là tách (I, p. 26, nhận xét 2) và riêng (TG, I, p. 76, hệ quả 2). Bởi hệ quả 1, do đó E là một phủ hữu hạn địa phương của B. Vì E là compact, $p(E)$ là một tập con quasi-compact của B; ánh xạ từ $p(E)$ vào $\mathbf{N}$ cho bởi $b\mapsto$ Card $\overset{-1}{p}(b)$ là địa phương hằng, nên bị chặn trên (TG, IV, p. 30, hệ quả).

a) Nếu ánh xạ $p$ là étale và tách, thì E-không gian $(E', f)$ là một phủ.

b) Nếu ánh xạ $f$ là toàn ánh và làm cho không gian $E'$ thành một phủ của E, thì E là một phủ của B.

Theo giả thiết a), các ánh xạ $p$ và $p'$ là étale và tách, và ánh xạ $p'$ là thực sự (định lý 1). Do đó ánh xạ $f$ là étale (I, p. 30, hệ quả 1 của mệnh đề 6), tách (I, p. 25, mệnh đề 2 b)) và thực sự (I, p. 28, mệnh đề 5). Theo định lý 1, $(E', f)$ là một phủ của E.

Bây giờ giả sử rằng $f$ là toàn ánh và $(E', f)$ là một phủ của E. Khi đó nó hữu hạn địa phương, nên ánh xạ $f$ là thực sự và toàn ánh (định lý 1). Theo I, p. 25, mệnh đề 2, c), ánh xạ $p$ là tách, vì $p'=p\circ f$ và $p'$ là tách. Ánh xạ $p$ là étale (I, p. 29, mệnh đề 6, d)), thực sự (TG, I, p. 73, mệnh đề 5, b)) và các thớ của nó là hữu hạn. Theo định lý 1, B-không gian $(E, p)$ khi đó là một phủ của B.

${E'}^{f'}$ E

$p'p$

${B'}^f$ B là một hình vuông Descartes. Giả sử rằng $(E', p')$ là một phủ hữu hạn địa phương của $B'$ và ánh xạ $f$ là phổ dụng ngặt và toàn ánh. Khi đó $(E, p)$ là một phủ hữu hạn địa phương của B.

Thật vậy, ánh xạ $p$ là étale (I, p. 31, mệnh đề 8), thực sự (I, p. 21, mệnh đề 11) và tách (I, p. 27, mệnh đề 4).

Kết quả là đúng nếu B rỗng; từ đây về sau ta giả sử B khác rỗng.

Nếu X là một tập con mở và đóng của E, thì hạn chế của $p$ trên X là một ánh xạ tách (I, p. 25, mệnh đề 2, a) và I, p. 26, nhận xét 1), étale và thực sự (TG, I, p. 74, hệ quả 1); theo định lý 1, $(X, p)$ là một phủ hữu hạn địa phương của B. Vì B liên thông, phủ này có bậc hữu hạn. Nếu X phân biệt với E, tồn tại một điểm $b\in B$ sao cho $X_b(E_b$, do đó $[X : B]<[E : B]$ vì B liên thông. Suy ra rằng mọi dãy giảm các tập hợp mở và đóng trong E đều dừng.

Cho $x\in E$; khi đó tồn tại một tập con mở và đóng nhỏ nhất X của E chứa $x$ (E, III, p. 51, mệnh đề 6). Một tập hợp như vậy X là liên thông; do đó nó là thành phần liên thông của $x$ trong E. Điều này cho thấy rằng các thành phần liên thông của E là mở và đóng và mỗi thành phần ấy là một phủ của B. Vì B liên thông, mỗi thành phần liên thông của E gặp mỗi thớ của $p$; do đó các thành phần liên thông của E là hữu hạn về số lượng.

Hãy ký hiệu bởi $p$ và $p'$ các phép chiếu tương ứng của các B-không gian E và $E'$. Cho $b$ là một điểm của B. Tồn tại một lân cận mở U của $b$ trong B và một phân hoạch hữu hạn $(V_i)_{i\in I}$ của $\overset{-1}{p}(U)$ gồm các tập hợp mở của E sao cho, với mọi $i\in I$, ánh xạ $p$ cảm sinh một đồng phôi từ

$V_i$ lên U. Đặt $V'_i=\overset{-1}{f}(V_i)$. Các tập hợp $V'_i$ mở trong $E'$,

lập thành một phân hoạch của $(^-{p'}^1)(U)$ và ánh xạ từ $V'_i$ tới U suy ra từ $p'$ bằng cách chuyển qua các không gian con làm cho $V'_i$ thành một U-không gian sợi địa phương tầm thường. Suy ra rằng không gian $(^-{p'}^1)(U)$, được trang bị ánh xạ

$p'_U:(^-{p'}^1)(U)\rightarrow U$, là một U-không gian sợi địa phương tầm thường (I, p. 69, nhận xét 2). Nếu $(E', f)$ là một phủ của E, thì các thớ của $p'_U$ là rời rạc vì giao của chúng với mỗi tập hợp mở $V'_i$ đều như vậy. Điều này hoàn tất chứng minh.

Cho $b$ là một điểm của B. Nếu E là một phủ của B, mọi lân cận mở U của $b$ liên thông và trên đó phủ E tầm thường hóa được đều thỏa mãn các điều kiện nêu trong mệnh đề. Ngược lại, cho U là một lân cận mở của $b$ thỏa mãn các điều kiện ấy. Tập hợp $\overset{-1}{p}(U)$ là mở; các thành phần liên thông của nó là các tập con mở của E (TG, I, p. 85, mệnh đề 11) và tạo thành một phân hoạch của $\overset{-1}{p}(U)$. Do đó mệnh đề được suy ra từ hệ quả 1 (I, p. 70) của mệnh đề 1.

Các không gian E và $E'$ là địa phương liên thông. Với mọi tập con mở U của B, tập hợp $E'\cap \overset{-1}{p}(U)$ là mở và đóng trong $\overset{-1}{p}(U)$, nên là một hợp của các thành phần liên thông của $\overset{-1}{p}(U)$. Các tập con mở U của B sao cho $p$ cảm sinh một đồng phôi từ mỗi thành phần liên thông của $\overset{-1}{p}(U)$ lên U phủ B. Theo mệnh đề, $p|E'$ biến $E'$ thành một phủ của B. Khẳng định thứ hai được suy ra từ đó (x. I, p. 68).

Cho X là tập hợp các điểm $x$ của $E'$ sao cho $f(x) =g(x)$. Đó là tập hợp các điểm tại đó các nâng $f$ và $g$ của $p'$ lên E trùng nhau; do đó X là mở và đóng trong $E'$ (mệnh đề 11 của I, p. 34). Phần bù Y của X cũng mở và đóng; do đó $p(Y)$ là mở và đóng trong B (hệ quả 1). Phần bù của nó, tức là tập hợp các điểm $b$ của B sao cho $f_b=g_b$, vì thế cũng vậy.

Cho $b$ là một điểm của B. Cho $f$ và $g$ là các B-cấu xạ từ $E'$ vào E sao cho $f_b=g_b$. Tập hợp các điểm $a$ của B sao cho $f_a=g_a$ là mở và đóng trong B (Hệ quả 2) và chứa $b$. Vậy nó bằng B, và $f$ bằng $g$.

Điều kiện là cần. Cho $E'$ là hợp các ảnh của các tiết diện liên tục của $p$, và cho $E''$ là phần bù của nó trong E. Tập hợp $E'$ là mở và đóng trong E (xem I, p. 79). Do đó $(E', p|E')$ là một phủ của B (Hệ quả 1), và phủ này tầm thường hóa được theo Hệ quả 2 (I, p. 70). Giả sử rằng $E'$ chứa $E_b$ và ta sẽ chứng minh rằng $E''$ rỗng. Vì $E''$ mở và đóng trong E, $p(E'')$ mở và đóng trong B (Hệ quả 1). Vì B liên thông và $b$ không thuộc $p(E''),p(E'') =\emptyset$, do đó $E''=\emptyset$.

${E'}^{f'}$ E

$p'p$

${B'}^f$ B

là một hình vuông Descartes. Giả sử rằng B-không gian $(E, p)$ là một phủ và rằng không gian $B'$ là liên thông và địa phương liên thông. Cho $b'$ là một điểm của $B'$. Để $B'$-không gian $(E', p')$ là một phủ tầm thường hóa được, điều kiện cần và đủ là với mọi điểm $x$ của E sao cho $p(x) =f(b')$, tồn tại một nâng liên tục $g: B'\rightarrow E$ của $f$ sao cho $g(b') =x$.

Nhắc lại rằng $(E', p')$ là một phủ của $B'($I, p. 71, Cor. 2) và rằng ánh xạ $f'$ cảm sinh một song ánh $E'_{b'}\rightarrow E_{f(b')}($I, p. 10, Cor.). Theo Mệnh đề 3 của I, p. 9, ánh xạ $s\mapsto f'\circ s$ xác định một song ánh giữa tập hợp các tiết diện liên tục của $p'$ và tập hợp các nâng liên tục của $f$ vào E. Vậy hệ quả suy ra từ Hệ quả 4.

a) Nếu phép chiếu của B-không gian E là một ánh xạ étale và phân ly, thì $(E', f)$ là một phủ của E.

b) Nếu $f$ là toàn ánh, thì E là một phủ của B.

Cho $p$ và $p'$ lần lượt ký hiệu các phép chiếu của các B-không gian E và $E'$ tương ứng. Theo giả thiết a$),f$ là étale (I, p. 29, Prop. 6, c)). Theo giả thiết b$),p$ là étale (loc. cit., d)). Do đó, dưới mỗi một trong hai giả thiết này, E là địa phương liên thông; đặc biệt, các thành phần liên thông của nó là mở và đóng trong E (TG, I, p. 85, Prop. 11).

Trước hết ta sẽ chứng minh Mệnh đề 7 dưới giả thiết bổ sung rằng B liên thông, liên thông địa phương, và rằng $E'$ là phủ tầm thường $(B\times F'$, pr$_1)$.

Lấy $x\in F'$ sao cho $U = B\times \{x\}($xem I, p. 79). Ánh xạ từ B vào E mà với mỗi $b\in B$ gán $f(b, x)$ là một tiết diện liên tục của $p$. Do đó ảnh X của nó liên thông và mở trong E, vì $p$ là étale (I, p. 30, Hệ quả 3). Hơn nữa nó đóng theo giả thiết a), vì $p$ là tách được (I, p. 27, Mệnh đề 3). Nó cũng đóng theo giả thiết b) theo Hệ quả 1 của I, p. 80, vì U vừa mở vừa đóng trong $E'$. Do đó, X là một thành phần liên thông của E.

Vì $f|U: U\rightarrow X$ là song ánh và mở, nên đó là một đồng phôi lên ảnh của nó, điều này chứng minh bổ đề.

Giữ lại các giả thiết đứng trước bổ đề và bây giờ chứng minh mệnh đề a). Gọi V là một thành phần liên thông của E. Nó là một

tập hợp mở và đóng trong E và $\overset{-1}{f}(V)$ là một hợp các thành phần liên thông của $E'$, mà $f$ ánh xạ đồng phôi lên V theo bổ đề. Suy ra từ Mệnh đề 6 của I, p. 79 rằng $(E', f)$ là một phủ.

Hãy chứng minh b). Vì $f$ toàn ánh, suy ra từ bổ đề rằng mọi thành phần liên thông V của E là ảnh đồng phôi của một thành phần liên thông $U = B\times \{x\}$ của $E'$. Khi đó ánh xạ $p$ cảm sinh một đồng phôi từ V lên B. Theo Mệnh đề 6, E là một phủ của B.

Như vậy điều này chứng minh mệnh đề, dưới giả thiết bổ sung rằng B liên thông và $E'$ là một phủ tầm thường hóa được của B. Hãy chứng minh nó trong trường hợp tổng quát.

Tồn tại một phủ $(U_i)_{i\in I}$ của B, gồm các tập hợp mở liên thông mà trên đó phủ $E'$ tầm thường hóa được. Lấy $i\in I$.

Hãy chứng minh a). Nếu ánh xạ $p$ là étale và tách được, thì ánh xạ $p_{U_i}: U_i\times_BE\rightarrow U_i$ cũng vậy, với $i\in I$, theo các Mệnh đề 8 của I, p. 31 và 4 của I, p. 27. Do đó suy ra từ trường hợp riêng đã xét rằng,

với mọi $i\in I$, $U_i$-không gian ($(^-{p'}^1)(U_i), f_{U_i}$) là một phủ. Gọi A là không gian tổng của các $U_i$ và $q: A\rightarrow B$ là ánh xạ chính tắc. Khi đó không gian $A\times_BE'$, được trang bị ánh xạ $f_A: A\times_BE'\rightarrow A\times_BE$ là một phủ của $A\times_BE$. Ánh xạ $q$ thừa nhận một tiết diện liên tục trong một lân cận của mọi điểm của B và Mệnh đề 3 của I, p. 72, áp dụng cho hình vuông Descartes

$A\times_BE$ E

suy ra rằng $E'$ là một phủ của E.

Hãy chứng minh b). Giả sử rằng $f$ là toàn ánh. Khi đó, với mọi phần tử $i$ của I, ánh xạ $f_{U_i}: U_i\times_BE'\rightarrow U_i\times_BE$ là toàn ánh và không gian $U_i\times_BE'$, được trang bị ánh xạ $f_{U_i}$, là một phủ của $U_i\times_BE$ (I, p. 71, Hệ quả 2 của Mệnh đề 2). Suy ra từ trường hợp riêng đã xét ở trên rằng $U_i$-không gian $(\overset{-1}{p}(U_i), p_{U_i})$ là một phủ. Do đó, E là một phủ của B.

Cho B là một không gian tôpô, cho E và $E'$ là các phủ của B, và cho $f: E\rightarrow E'$ là một B-cấu xạ. Ta đã thấy rằng $(E, f)$ là một phủ dưới mỗi một trong hai giả thiết sau: 1) phủ E địa phương có bậc hữu hạn (I, p. 76, Hệ quả 1) ; 2) không gian B liên thông địa phương (I, p. 81, Mệnh đề 7). Hiện tượng này có thể được giải thích như sau.

Cho F và $F'$ là các không gian tôpô rời rạc và cho $f: B\times F\rightarrow$ $B\times F'$ là một B-cấu xạ. Ánh xạ $\widetilde{f}:a\mapsto$ pr$_2\circ f(b,\cdot )$ từ B vào không gian $\mathscr{C}_c(F; F')$ là liên tục (TG, X, p. 28, đl. 3). Nếu U là một tập mở của B sao cho ánh xạ $\widetilde{f}$ là hằng trên U, thì ánh xạ $f_U: U\times$ $F\rightarrow U\times F'$ suy ra từ $f$ là một phủ khả tầm thường hóa (I, p. 69, mệnh đề 1).

Không gian $\mathscr{C}_c(F; F')$ không gì khác hơn là tập $\mathscr{F}(F; F')$ các ánh xạ từ F vào $F'$ được trang bị tôpô suy ra từ tôpô của không gian tích $(F')^F$ nhờ sự đồng nhất chính tắc. Đối với tôpô này, không gian $\mathscr{F}(F; F')$ là hoàn toàn không liên thông (I, p. 84, mệnh đề 10). Do đó, nếu không gian B là liên thông, thì ánh xạ $\widetilde{f}$ là hằng (I, p. 82, mệnh đề 4); nếu không gian B là liên thông địa phương, thì ánh xạ $\widetilde{f}$ là hằng địa phương. Khi tập F là hữu hạn, không gian $\mathscr{F}(F; F')$ là rời rạc và ánh xạ $\widetilde{f}$ là hằng địa phương.

Ký hiệu bởi $p$ phép chiếu của B-không gian E. Theo mệnh đề, $(E', f)$ là một phủ của E; ảnh $f(E')$ của nó là mở và đóng trong E. Gọi U là phần bù của $f(E')$ trong E, để cho B-không gian $(U, p|U)$ là một phủ của B (I, p. 80, hệ quả 1). Nếu ánh xạ $f_b$ là toàn ánh, thì sợi tại $b$ của phủ này là rỗng. Vì B là một không gian liên thông, khi đó U là rỗng, do đó $f$ là toàn ánh.

Tập V các điểm của E tại đó sợi của $f$ có đúng một phần tử là mở và đóng. Các B-không gian $(V, p|V)$ và $(f(E'), p|f(E'))$ là các phủ của B (loc. cit.) và ánh xạ chính tắc $i: V\rightarrow$ $f(E')$ là một B-cấu xạ. Nếu ánh xạ $f_b$ là đơn ánh, thì ánh xạ $i_b$ là toàn ánh, nên $i$ là toàn ánh theo điều nói trên, và ta có $V =f(E')$. Do đó, ánh xạ $f$ là đơn ánh.

Trước hết ta hãy chứng minh một bổ đề.

Cho $(W_j)_{j\in J}$ là một phủ mở của E; ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một phủ mở hữu hạn địa phương $(A_k)_{k\in K}$ của E mịn hơn phủ $(W_j)_{j\in J}$. Với mỗi $i\in I$, cho $(A'_{\ell})_{\ell\in K_i}$ là một phủ hữu hạn địa phương của $\overline{V_i}$ bởi các tập mở của $\overline{V_i}$, mịn hơn phủ $(W_j\cap \overline{V_i})_{j\in J}$. Cho K là tổng của họ $(K_i)_{i\in I}$ (E, II, p. 30, Def. 8). Với mỗi phần tử $k= (\ell , i)$ của K, đặt $A_k= A'_{\ell}\cap V_i$. Khi đó $A_k$ mở trong E và ta có $\bigcup_{k\in K}A_k=\bigcup_{i\in I}V_i= E$; hơn nữa, với mỗi $k\in K$, tồn tại một chỉ số $j\in J$ sao cho $A_k\subset W_j$. Vì thế, họ $(A_k)_{k\in K}$ là một phủ mở của E mịn hơn $(W_j)_{j\in J}$. Còn phải chứng minh rằng họ $(A_k)_{k\in K}$ là hữu hạn địa phương. Cho $x\in E$; tồn tại một lân cận mở U của $x$ chỉ giao với $V_i$ đối với những $i$ thuộc một tập con hữu hạn $I'$ của I. Với mỗi $i\in I',x$ có một lân cận mở $U_i\subset U$ chỉ giao với một số hữu hạn các tập mở $A_k$, với $k\in K_i\times \{i\}:$ điều này hiển nhiên nếu $x$ không thuộc $\overline{V_i}$, và nếu $x$ thuộc $\overline{V_i}$, điều này suy ra từ tính chất hữu hạn địa phương của phủ $(A'_{\ell})_{\ell\in K_i}$ của $\overline{V_i}$. Suy ra $V'=\bigcap_{i\in I'}U_i$ là một lân cận mở của $x$ chỉ giao với một số hữu hạn các $A_k,k\in K$, và phủ $(A_k)_{k\in K}$ là hữu hạn địa phương.

Ta hãy chứng minh mệnh đề. Cho E là một phủ của B, ký hiệu $p$ là phép chiếu của nó, và giả sử rằng không gian B là paracompact. Cho $(A_i)_{i\in I}$ là một phủ mở hữu hạn địa phương của B sao cho, với mỗi $i\in I$, phủ E tầm thường hóa được trên $A_i$. Với mỗi $i\in I$, cho $F_i$ là một không gian tôpô rời rạc và cho $g_i:\overset{-1}{p}(A_i)\rightarrow A_i\times F_i$ là một sự tầm thường hóa của E trên $A_i$. Cho $(B_i)_{i\in I}$ là một phủ mở của B sao cho, với mỗi $i\in I$, ta có $\overline{B_i}\subset A_i$ (TG, IX, p. 49, Prop. 4 and p. 48, Cor. 1). Với mỗi $i\in I$, đặt $V_i=\overset{-1}{p}(B_i)$; ta có $\overline{V_i}\subset \overset{-1}{p}(B_i)\subset \overset{-1}{p}(A_i)$ và $V_i=\overset{-1}{g_{i}}(B_i\times F_i)$, do đó $\overline{V_i}\subset \overset{-1}{g_{i}}(B_i\times F_i)$. Vì B là paracompact, $\overline{B_i}$ là paracompact (TG, I, p. 69, Prop. 16) và $\overline{B_i}\times F_i$ là paracompact (TG, I, p. 70, Prop. 18). Suy ra $\overset{-1}{g_{i}}(B_i\times F_i)$ là paracompact, nên $\overline{V_i}$ cũng vậy (TG, I, p. 69, Prop. 16). Theo phép dựng, họ $(V_i)_{i\in I}$ là một phủ mở hữu hạn địa phương của E. Cuối cùng, không gian E là separated (I, p. 26, Nhận xét 3). Vậy nó thỏa mãn các giả thiết của bổ đề, do đó có mệnh đề.