(i) L’application $p$ est continue et le B-espace $(E, p)$ est un revêtement trivialisable ;

(ii) Il existe une partition $(V_i)_{i\in I}$ de E formée d’ensembles ouverts telle que, pour tout $i\in I$, l’application $p|V_i: V_i\rightarrow B$ soit un homéomorphisme.

Supposons que la condition (i) soit vérifiée et soit $g: E\rightarrow B\times F$ une trivialisation du B-espace $(E, p)$, de fibre-type F. Par suite, F est un espace topologique discret et, les ensembles $V_i=\overset{-1}{g}(B\times \{i\})$, pour $i\in F$, forment une partition de E formée d’ensembles ouverts. Pour tout $i$, l’application $p|V_i: V_i\rightarrow B$ est un homéomorphisme, d’homéomorphisme réciproque l’application $x\mapsto g^{-1}(x, i)$, d’où la condition (ii).

Inversement, supposons que la condition (ii) soit satisfaite. L’application $p$ est alors continue. Considérons l’application de E dans $B\times I$ qui à $x\in E$ associe le couple $(p(x), i)$, où $i$ est l’unique élément de I telle que $x\in V_i$. Si I est muni de la topologie discrète, la condition (ii) signifie que cette application est un B-isomorphisme et le B-espace $(E, p)$ est un revêtement trivialisable.

C’est évidemment nécessaire. Inversement, pour toute section continue $s$ de $p$, l’ensemble $s(B)$ est ouvert et l’application $p$ induit un homéomorphisme de $s(B)$ sur B (I, p. 30, cor. 3 de la prop. 6). En outre, lorsque $s$ parcourt l’ensemble $\mathscr{S}(B; E)$ des sections de $p$, les ensembles $s(B)$ sont deux à deux disjoints, car B est connexe (I, p. 34, cor. 1 de la prop. 11). Il résulte alors de la proposition 1 que si les ensembles $s(B)$ recouvrent E, l’espace E est un revêtement trivialisable de B.

Supposons d’abord que le B-espace E et le $B'$-espace $E'$ admettent des trivialisations $g: E\rightarrow B\times F,g': E'\rightarrow B'\times F'$; l’application composée de l’homéomorphisme $g\times g'$ de $E\times E'$ sur $(B\times F)\times (B'\times F')$ et de l’homéomorphisme canonique de $(B\times F)\times (B'\times F')$ sur $(B\times B')\times (F\times F')$ est une trivialisation du $B\times B'$-espace $E\times E'$, de fibre-type $F\times F'$. Si F et $F'$ sont des espaces discrets, l’espace $F\times F'$ est aussi discret.

Dans le cas général, pour tout point $(a, a')$ de $B\times B'$, il existe un voisinage U de $a$ dans B et un voisinage $U'$ de $a'$ dans $B'$ tels que le U-espace $E_U$ et le $U'$-espace $E'_{U'}$ soient trivialisables. Il résulte de ce qui précède que le $B\times B'$-espace $E\times E'$ est trivialisable au-dessus de $U\times U'$. C’est donc un espace fibré localement trivial de base $B\times B'$. Ses fibres sont discrètes si E et $E'$ sont des revêtements, d’où la proposition.

On remarquera que, si $(p_i: E_i\rightarrow B_i)_{i\in I}$ est une famille d’espaces fibrés localement triviaux, ou même de revêtements, l’espace produit $\prod_{i\in I}E_i$ muni de l’application $(p_i)_{i\in I}$ n’est pas nécessairement un espace fibré localement trivial de base $\prod_{i\in I}B_i($I, p. 145, exerc. 3).

Puisque l’ensemble $E\times_AE'$ est l’image réciproque de $B\times_AB'$ par l’application $p\times p': E\times E'\rightarrow B\times B'$, le corollaire résulte de la proposition 2 et de la remarque 1 (I, p. 68).

${E'}^{f'}$ E

$p'p$

${B'}^f$ B

un carré cartésien. Si $(E, p)$ est un B-espace fibré localement trivial ( resp. un revêtement), alors $(E', p')$ est un espace fibré localement trivial ( resp. un revêtement) de base $B'$, trivialisable si $(E, p)$ l’est.

Cela résulte du corollaire 1, appliqué avec B = A et $E'= B'$.

Cela résulte du corollaire 1, appliqué au cas où A, B et $B'$ sont égaux.

${E'}^{f'}$ E

${B'}^f$ B

un carré cartésien. Supposons qu’au voisinage de tout point de B, l’application $f$ possède une section continue. Alors, si $(E', p')$ est un $B'$-espace fibré localement trivial ( resp. un revêtement), le B-espace $(E, p)$ est un espace fibré localement trivial ( resp. un revêtement).

Il s’agit de démontrer que tout point $a$ de B possède un voisinage U tel que le U-espace induit par $(E, p)$ au-dessus de U soit un espace fibré localement trivial (resp. un revêtement). Prenons pour U un voisinage de $a$ au-dessus duquel il existe une section continue $s$ de $f$. Notons $i: U\rightarrow B$ et $j:\overset{-1}{p}(U)\rightarrow E$ les injections canoniques. Comme le carré (1) est cartésien, il existe une unique application continue $s':\overset{-1}{p}(U)\rightarrow E'$ telle que $f'\circ s'=j$ et $p'\circ s'=s\circ p_U$. Le carré

U $^sB'$

est ainsi commutatif et son composé avec le carré (1) est le carré cartésien

$\overset{-1}{p}(U)^j$ E

$p_Up$

U $^iB$.

D’après la proposition 7 de I, p. 15, le carré (2) est cartésien. Le corollaire 2 permet de conclure.

Soit G un espace topologique, soit $(F, g)$ un revêtement de G et soit $(E, f)$ un revêtement de F ; supposons que ces revêtements possèdent un degré. Si le G-espace $(E, g\circ f)$ est un revêtement, il possède alors un degré et l’on a deg(E$, g\circ f$) $=$ deg(F$, g$) deg(E$, f$), ce qu’on peut aussi écrire

En effet, si $z$ est un point de G, toutes les fibres de l’application

ont pour cardinal deg(E$, f$), et $\overset{-1}{g}(z)$ a pour cardinal deg(F$, g$). L’assertion résulte donc du principe des bergers (E, III, p. 41, prop. 9).

Soient B et $B'$ des espaces topologiques, soit $(E, p)$ un revêtement de B et soit $(E', p')$ un revêtement de $B'$. Supposons que ces revêtements possèdent un degré ; alors, le revêtement $(E\times E', p\times p')$ de $B\times B'$ (I, p. 71, prop. 2) possède un degré et l’on a :

deg(E $\times E', p\times p'$) $=$ deg(E$, p$) deg(E$', p'$).

En effet, pour tout couple $(b, b')\in B\times B'$, la fibre $(E\times E')_{(b,b')}$ est le produit $E_b\times E'_{b'}$.

Soient B et $B'$ des espaces topologiques, $(E, p)$ un revêtement de B, $(E', p')$ un revêtement de $B'$ et soit

${E'}^{f'}$ E

$p'p$

${B'}^f$ B

un carré cartésien. Si $B'$ n’est pas vide et si le revêtement $(E, p)$ possède un degré, alors le revêtement $(E', p')$ possède un degré, égal à celui de E, d’après I, p. 10, cor. de la prop. 4.

(i) L’espace E, muni de l’application $p$, est un revêtement localement fini de B ;

(ii) L’application $p$ est étale, propre et séparée ;

(iii) L’application $p$ est continue, ouverte et séparée, ses fibres sont finies et la fonction numérique $b\mapsto$ Card($\overset{-1}{p}(b)$) est semi-continue supérieurement sur B (TG, IV, p. 28).

Nous utiliserons dans la démonstration le lemme suivant :

de $y$ tel que W contienne $\overset{-1}{f}(V)$.

Dans cet énoncé, on peut ne considérer que les voisinages W de $\overset{-1}{f}(y)$ qui sont ouverts. En notant F le complémentaire de W dans Y, on peut alors reformuler l’énoncé de la façon suivante : pour qu’une application $f: X\rightarrow Y$ soit fermée, il faut et il suffit que, pour toute partie fermée F de X, tout point $y$ de Y qui n’appartient pas à $f(F)$ possède un voisinage V disjoint de $f(F)$. Or cette assertion résulte immédiatement de la définition d’une application fermée (TG, I, p. 30, déf. 1).

Démontrons maintenant le théorème 1. Chacune des trois conditions implique que l’application $p$ est continue, ouverte et séparée, et aussi que les fibres de $p$ sont finies. C’est clair sous les hypothèses (i) et (iii) ; sous l’hypothèse (ii), les fibres de $p$ sont discrètes (I, p. 29, remarque 2) et quasi-compactes (TG, I, p. 75, th. 1) donc finies (TG, I, p. 60, exemple 1).

(i)$\Rightarrow$(ii) : il suffit de démontrer que $p$ est propre et, pour cela, que pour tout ouvert U au-dessus duquel le revêtement $(E, p)$ est trivialisable, l’application $p_U:\overset{-1}{p}(U)\rightarrow U$ est propre (TG, I, p. 72, prop. 3). Comme les fibres de $p_U$ sont finies, cette dernière assertion résulte du corollaire 5 de TG, I, p. 77.

(ii)$\Rightarrow$(iii) : soit $b$ un point de B et, pour tout $x\in \overset{-1}{p}(b)$, soit $W_x$ un voisinage ouvert de $x$ dans E tel que $p|W_x$ soit injectif. L’ensemble $W =\bigcup_{x\in\overset{-1}{p}(b)}W_x$ est un voisinage ouvert de $\overset{-1}{p}(b)$. Comme l’application $p$ est fermée, il existe d’après le lemme ci-dessus un voisinage ouvert U de $b$ tel que $\overset{-1}{p}(U)\subset W$. Pour tout $a\in U$, on a $\overset{-1}{p}(a)\subset W$ ; comme la restriction de $p$ à chaque $W_x$ est injective, il en résulte que Card($\overset{-1}{p}(a)$)$\leqslant$ Card($\overset{-1}{p}(b)$), ce qui prouve la semi-continuité supérieure de l’application $a\mapsto$ Card($\overset{-1}{p}(a)$).

(iii)$\Rightarrow$(i) : soit $b$ un point de B. Comme la fibre $E_b=\overset{-1}{p}(b)$ est finie et l’application $p$ séparée, on peut choisir, pour tout $x\in E_b$, un voisinage ouvert $V'_x$ de $x$ de telle sorte que les $V'_x$ soient deux à deux disjoints (I, p. 26, remarque 4). Comme l’application $p$ est ouverte et l’ensemble $E_b$ fini, l’ensemble $U'=\bigcap_{x\in E_b}p(V'_x)$ est un voisinage ouvert de $b$ dans B. Soit U un voisinage ouvert de $b$ dans B, contenu dans $U'$ et tel que pour tout $a\in U$, Card(E$_a$)$\leqslant$ Card(E$_b$). Pour tout $x\in E_b$, posons $V_x= V'_x\cap \overset{-1}{p}(U)$. Soit $a$ un point de U ; les ensembles $E_a\cap V_x$, pour $x\in E_b$, sont non vides et deux à deux disjoints. Ces ensembles contiennent donc chacun un unique élément et forment une partition de $E_a$. Cela démontre que, pour tout $x\in E_b$, l’application $p|V_x$ est injective et que l’on a $\overset{-1}{p}(U) =\bigcup_{x\in E_b}V_x$. Comme l’application $p$ est ouverte, elle induit un homéomorphisme de $V_x$ sur U et par suite, $(E, p)$ est un revêtement de B (I, p. 70, cor. 1 de la prop. 1).

L’ensemble F des points de E en lesquels l’application $p$ n’est pas étale est fermé dans E (I, p. 29, remarque 1). Son image $p(F)$ est fermée car l’application $p$ est propre ; le complémentaire U de $p(F)$ est donc ouvert. L’application $p_U$ est séparée (I, p. 27, prop. 4) et propre (TG, I, p. 72, prop. 3). Par construction, l’application $p_U$ est étale ; elle satisfait donc à la condition (ii) du théorème 1.

L’application $p$ est séparée (I, p. 26, remarque 2) et propre (TG, I, p. 76, cor. 2). D’après le corollaire 1, E est donc un revêtement localement fini de B. Comme E est compact, $p(E)$ est une partie quasi-compacte de B; l’application de $p(E)$ dans $\mathbf{N}$ donnée par $b\mapsto$ Card $\overset{-1}{p}(b)$ étant localement constante, elle est majorée (TG, IV, p. 30, corollaire).

a) Si l’application $p$ est étale et séparée, le E-espace $(E', f)$ est un revêtement.

b) Si l’application $f$ est surjective et fait de l’espace $E'$ un revêtement de E, alors E est un revêtement de B.

Sous l’hypothèse de a), les applications $p$ et $p'$ sont étales et séparées, et l’application $p'$ est propre (théorème 1). L’application $f$ est donc étale (I, p. 30, cor. 1 de la prop. 6), séparée (I, p. 25, prop. 2 b)) et propre (I, p. 28, prop. 5). D’après le théorème 1, $(E', f)$ est un revêtement de E.

Supposons maintenant que $f$ soit surjective et que $(E', f)$ soit un revêtement de E. Il est alors localement fini donc l’application $f$ est propre et surjective (th. 1). D’après I, p. 25, prop. 2, c), l’application $p$ est séparée, car $p'=p\circ f$ et $p'$ est séparée. L’application $p$ est étale (I, p. 29, prop. 6, d)), propre (TG, I, p. 73, prop. 5, b)) et ses fibres sont finies. D’après le th. 1, le B-espace $(E, p)$ est alors un revêtement de B.

${E'}^{f'}$ E

$p'p$

${B'}^f$ B un carré cartésien. Supposons que $(E', p')$ soit un revêtement localement fini de $B'$ et que l’application $f$ soit universellement stricte et surjective. Alors $(E, p)$ est un revêtement localement fini de B.

En effet, l’application $p$ est étale (I, p. 31, prop. 8), propre (I, p. 21, prop. 11) et séparée (I, p. 27, prop. 4).

Le résultat est vrai si B est vide ; on le suppose désormais non vide.

Si X est une partie ouverte et fermée de E, la restriction de $p$ à X est une application séparée (I, p. 25, prop. 2, a) et I, p. 26, remarque 1), étale et propre (TG, I, p. 74, corollaire 1) ; d’après le théorème 1, $(X, p)$ est un revêtement localement fini de B. Comme B est connexe, ce revêtement possède un degré fini. Si X est distinct de E, il existe un point $b\in B$ tel que $X_b(E_b$, d’où $[X : B]<[E : B]$ car B est connexe. On en déduit que toute suite décroissante d’ensembles ouverts et fermés dans E est stationnaire.

Soit $x\in E$; il existe alors une plus petite partie ouverte et fermée X de E contenant $x$ (E, III, p. 51, prop. 6). Un tel ensemble X est connexe ; c’est donc la composante connexe de $x$ dans E. Cela montre que les composantes connexes de E sont ouvertes et fermées et que chacune d’entre elles est un revêtement de B. Comme B est connexe, chaque composante connexe de E rencontre chaque fibre de $p$; les composantes connexes de E sont donc en nombre fini.

Notons $p$ et $p'$ les projections respectives des B-espaces E et $E'$. Soit $b$ un point de B. Il existe un voisinage ouvert U de $b$ dans B et une partition finie $(V_i)_{i\in I}$ de $\overset{-1}{p}(U)$ formée d’ensembles ouverts de E telle que, pour tout $i\in I$, l’application $p$ induise un homéomorphisme de

$V_i$ sur U. Posons $V'_i=\overset{-1}{f}(V_i)$. Les ensembles $V'_i$ sont ouverts dans $E'$,

forment une partition de $(^-{p'}^1)(U)$ et l’application de $V'_i$ dans U déduite de $p'$ par passage aux sous-espaces fait de $V'_i$ un U-espace fibré localement trivial. Il en résulte que l’espace $(^-{p'}^1)(U)$, muni de l’application

$p'_U:(^-{p'}^1)(U)\rightarrow U$, est un U-espace fibré localement trivial (I, p. 69, remarque 2). Si $(E', f)$ est un revêtement de E, les fibres de $p'_U$ sont discrètes car leurs intersections avec chacun des ensembles ouverts $V'_i$ le sont. Cela termine la démonstration.

Soit $b$ un point de B. Si E est un revêtement de B, tout voisinage ouvert U de $b$ qui est connexe et au-dessus duquel le revêtement E est trivialisable remplit les conditions énoncées dans la proposition. Inversement, soit U un voisinage ouvert de $b$ remplissant ces conditions. L’ensemble $\overset{-1}{p}(U)$ est ouvert ; ses composantes connexes sont des parties ouvertes de E (TG, I, p. 85, prop. 11) et constituent une partition de $\overset{-1}{p}(U)$. La proposition résulte donc du corollaire 1 (I, p. 70) de la proposition 1.

Les espaces E et $E'$ sont localement connexes. Pour toute partie ouverte U de B, l’ensemble $E'\cap \overset{-1}{p}(U)$ est ouvert et fermé dans $\overset{-1}{p}(U)$, donc est réunion de composantes connexes de $\overset{-1}{p}(U)$. Les parties ouvertes U de B telles que $p$ induise un homéomorphisme de chaque composante connexe de $\overset{-1}{p}(U)$ sur U recouvrent B. D’après la proposition, $p|E'$ fait de $E'$ un revêtement de B. La deuxième assertion en résulte (cf. I, p. 68).

Soit X l’ensemble des points $x$ de $E'$ tels que $f(x) =g(x)$. C’est l’ensemble des points où coïncident les relèvements $f$ et $g$ de $p'$ à E ; donc X est ouvert et fermé dans $E'$ (prop. 11 de I, p. 34). Le complémentaire Y de X est aussi ouvert et fermé ; par suite $p(Y)$ est ouvert et fermé dans B (corollaire 1). Son complémentaire, qui est l’ensemble des points $b$ de B tels que $f_b=g_b$, l’est donc aussi.

Soit $b$ un point de B. Soient $f$ et $g$ des B-morphismes de $E'$ dans E tels que $f_b=g_b$. L’ensemble des points $a$ de B tels que $f_a=g_a$ est ouvert et fermé dans B (corollaire 2) et contient $b$. Il est donc égal à B et $f$ est égal à $g$.

La condition est nécessaire. Soit $E'$ la réunion des images des sections continues de $p$ et soit $E''$ son complémentaire dans E. L’ensemble $E'$ est ouvert et fermé dans E (cf. I, p. 79). Par suite, $(E', p|E')$ est un revêtement de B (corollaire 1), et ce revêtement est trivialisable en vertu du corollaire 2 (I, p. 70). Supposons que $E'$ contienne $E_b$ et démontrons que $E''$ est vide. Comme $E''$ est ouvert et fermé dans E, $p(E'')$ est ouvert et fermé dans B (corollaire 1). Puisque B est connexe et que $b$ n’appartient pas à $p(E''),p(E'') =\emptyset$, donc $E''=\emptyset$.

${E'}^{f'}$ E

$p'p$

${B'}^f$ B

un carré cartésien. Supposons que le B-espace $(E, p)$ soit un revêtement et que l’espace $B'$ soit connexe et localement connexe. Soit $b'$ un point de $B'$. Pour que le $B'$-espace $(E', p')$ soit un revêtement trivialisable, il faut et il suffit que pour tout point $x$ de E tel que $p(x) =f(b')$, il existe un relèvement continu $g: B'\rightarrow E$ de $f$ tel que $g(b') =x$.

Rappelons que $(E', p')$ est un revêtement de $B'($I, p. 71, cor. 2) et que l’application $f'$ induit une bijection $E'_{b'}\rightarrow E_{f(b')}($I, p. 10, cor.). D’après la prop. 3 de I, p. 9, l’application $s\mapsto f'\circ s$ définit une bijection entre l’ensemble des sections continues de $p'$ et l’ensemble des relèvements continus de $f$ à E. Le corollaire résulte donc du corollaire 4.

a) Si la projection du B-espace E est une application étale et séparée, $(E', f)$ est un revêtement de E.

b) Si $f$ est surjective, alors E est un revêtement de B.

Notons $p$ et $p'$ les projections des B-espaces E et $E'$ respectivement. Sous l’hypothèse de a$),f$ est étale (I, p. 29, prop. 6, c)). Sous l’hypothèse de b$),p$ est étale (loc. cit., d)). Par suite, sous l’une quelconque de ces deux hypothèses, E est localement connexe ; ses composantes connexes sont en particulier ouvertes et fermées dans E (TG, I, p. 85, prop. 11).

Nous allons d’abord démontrer la proposition 7 sous l’hypothèse supplémentaire que B est connexe, localement connexe, et que $E'$ est le revêtement trivial $(B\times F'$, pr$_1)$.

Soit $x\in F'$ tel que $U = B\times \{x\}($cf. I, p. 79). L’application de B dans E qui à $b\in B$ associe $f(b, x)$ est une section continue de $p$. Son image X est donc connexe et ouverte dans E, car $p$ est étale (I, p. 30, cor. 3). Elle est de plus fermée sous l’hypothèse a), car $p$ est séparée (I, p. 27, prop. 3). Elle est aussi fermée sous l’hypothèse b) d’après le corollaire 1 de I, p. 80, car U est ouvert et fermé dans $E'$. Par suite, X est une composante connexe de E.

Comme $f|U: U\rightarrow X$ est bijective et ouverte, c’est un homéomorphisme sur son image, ce qui démontre le lemme.

Conservons les hypothèses précédant le lemme et démontrons maintenant l’assertion a). Soit V une composante connexe de E. C’est un

ensemble ouvert et fermé dans E et $\overset{-1}{f}(V)$ est réunion de composantes connexes de $E'$ que $f$ applique homéomorphiquement sur V d’après le lemme. Il résulte de la prop. 6 de I, p. 79 que $(E', f)$ est un revêtement.

Démontrons b). Comme $f$ est surjective, il résulte du lemme que toute composante connexe V de E est l’image homéomorphe d’une composante connexe $U = B\times \{x\}$ de $E'$. L’application $p$ induit alors un homéomorphisme de V sur B. D’après la prop. 6, E est un revêtement de B.

Cela démontre donc la proposition, sous l’hypothèse supplémentaire que B est connexe et $E'$ un revêtement trivialisable de B. Démontronsla dans le cas général.

Il existe un recouvrement $(U_i)_{i\in I}$ de B, formé d’ouverts connexes au-dessus desquels le revêtement $E'$ est trivialisable. Soit $i\in I$.

Démontrons a). Si l’application $p$ est étale et séparée, il en est de même de l’application $p_{U_i}: U_i\times_BE\rightarrow U_i$, pour $i\in I$, d’après les prop. 8 de I, p. 31 et 4 de I, p. 27. Il résulte donc du cas particulier traité que,

pour tout $i\in I$, le $U_i$-espace ($(^-{p'}^1)(U_i), f_{U_i}$) est un revêtement. Notons A l’espace somme des $U_i$ et $q: A\rightarrow B$ l’application canonique. Alors, l’espace $A\times_BE'$, muni de l’application $f_A: A\times_BE'\rightarrow A\times_BE$ est un revêtement de $A\times_BE$. L’application $q$ admet une section continue au voisinage de tout point de B et la prop. 3 de I, p. 72, appliquée au carré cartésien

$A\times_BE$ E

implique que $E'$ est un revêtement de E.

Démontrons b). Supposons que $f$ soit surjective. Alors, pour tout élément $i$ de I, l’application $f_{U_i}: U_i\times_BE'\rightarrow U_i\times_BE$ est surjective et l’espace $U_i\times_BE'$, muni de l’application $f_{U_i}$, est un revêtement de $U_i\times_BE$ (I, p. 71, cor. 2 de la prop. 2). Il résulte du cas particulier traité précédemment que le $U_i$-espace $(\overset{-1}{p}(U_i), p_{U_i})$ est un revêtement. Par conséquent, E est un revêtement de B.

Soit B un espace topologique, soient E et $E'$ des revêtements de B et soit $f: E\rightarrow E'$ un B-morphisme On a vu que $(E, f)$ est un revêtement sous chacune des deux hypothèses suivantes : 1) le revêtement E est localement de degré fini (I, p. 76, cor. 1) ; 2) l’espace B est localement connexe (I, p. 81, prop. 7). Ce phénomène peut s’expliquer comme suit.

Soient F et $F'$ des espaces topologiques discrets et soit $f: B\times F\rightarrow$ $B\times F'$ un B-morphisme. L’application $\widetilde{f}:a\mapsto$ pr$_2\circ f(b,\cdot )$ de B dans l’espace $\mathscr{C}_c(F; F')$ est continue (TG, X, p. 28, th. 3). Si U est un ouvert de B tel que l’application $\widetilde{f}$ soit constante sur U, l’application $f_U: U\times$ $F\rightarrow U\times F'$ déduite de $f$ est un revêtement trivialisable (I, p. 69, prop. 1).

L’espace $\mathscr{C}_c(F; F')$ n’est autre que l’ensemble $\mathscr{F}(F; F')$ des applications de F dans $F'$ muni de la topologie déduite de la topologie de l’espace produit $(F')^F$ par l’identification canonique. Pour cette topologie, l’espace $\mathscr{F}(F; F')$ est totalement discontinu (I, p. 84, prop. 10). Par suite, si l’espace B est connexe, l’application $\widetilde{f}$ est constante (I, p. 82, prop. 4) ; si l’espace B est localement connexe, l’application $\widetilde{f}$ est localement constante. Lorsque l’ensemble F est fini, l’espace $\mathscr{F}(F; F')$ est discret et l’application $\widetilde{f}$ est localement constante.

Notons $p$ la projection du B-espace E. D’après la proposition, $(E', f)$ est un revêtement de E ; son image $f(E')$ est ouverte et fermée dans E. Notons U le complémentaire de $f(E')$ dans E, de sorte que le B-espace $(U, p|U)$ est un revêtement de B (I, p. 80, corollaire 1). Si l’application $f_b$ est surjective, la fibre en $b$ de ce revêtement est vide. Comme B est un espace connexe, U est alors vide, donc $f$ est surjective.

L’ensemble V des points de E où la fibre de $f$ a exactement un élément est ouvert et fermé. Les B-espaces $(V, p|V)$ et $(f(E'), p|f(E'))$ sont des revêtements de B (loc. cit.) et l’application canonique $i: V\rightarrow$ $f(E')$ est un B-morphisme. Si l’application $f_b$ est injective, l’application $i_b$ est surjective, donc $i$ est surjective d’après ce qui précède et l’on a $V =f(E')$. Par suite, l’application $f$ est injective.

Démontrons d’abord un lemme.

Soit $(W_j)_{j\in J}$ un recouvrement ouvert de E ; nous allons démontrer qu’il existe un recouvrement ouvert localement fini $(A_k)_{k\in K}$ de E qui est plus fin que le recouvrement $(W_j)_{j\in J}$. Pour tout $i\in I$, soit $(A'_{\ell})_{\ell\in K_i}$ un recouvrement localement fini de $\overline{V_i}$ par des ouverts de $\overline{V_i}$, plus fin que le recouvrement $(W_j\cap \overline{V_i})_{j\in J}$. Soit K la somme de la famille $(K_i)_{i\in I}$ (E, II, p. 30, déf. 8). Pour tout élément $k= (\ell , i)$ de K, posons $A_k= A'_{\ell}\cap V_i$. Alors $A_k$ est ouvert dans E et l’on a $\bigcup_{k\in K}A_k=\bigcup_{i\in I}V_i= E$ ; de plus, pour tout $k\in K$, il existe un indice $j\in J$ tel que $A_k\subset W_j$. Ainsi, la famille $(A_k)_{k\in K}$ est un recouvrement ouvert de E plus fin que $(W_j)_{j\in J}$. Il reste à démontrer que la famille $(A_k)_{k\in K}$ est localement finie. Soit $x\in E$ ; il existe un voisinage ouvert U de $x$ qui ne rencontre $V_i$ que pour $i$ appartenant à un sous-ensemble fini $I'$ de I. Pour tout $i\in I',x$ possède un voisinage ouvert $U_i\subset U$ qui ne rencontre qu’un nombre fini d’ouverts $A_k$, pour $k\in K_i\times \{i\}:$ c’est évident si $x$ n’appartient pas à $\overline{V_i}$, et si $x$ appartient à $\overline{V_i}$, cela résulte de la propriété de finitude locale du recouvrement $(A'_{\ell})_{\ell\in K_i}$ de $\overline{V_i}$. Par suite, $V'=\bigcap_{i\in I'}U_i$ est un voisinage ouvert de $x$ qui ne rencontre qu’un nombre fini des $A_k,k\in K$, et le recouvrement $(A_k)_{k\in K}$ est localement fini.

Démontrons la proposition. Soit E un revêtement de B, notons $p$ sa projection, et supposons que l’espace B soit paracompact. Soit $(A_i)_{i\in I}$ un recouvrement ouvert localement fini de B tel que, pour tout $i\in I$, le revêtement E soit trivialisable au-dessus de $A_i$. Pour tout $i\in I$, soit $F_i$ un espace topologique discret et soit $g_i:\overset{-1}{p}(A_i)\rightarrow A_i\times F_i$ une trivialisation de E au-dessus de $A_i$. Soit $(B_i)_{i\in I}$ un recouvrement ouvert de B tel que, pour tout $i\in I$, on ait $\overline{B_i}\subset A_i$ (TG, IX, p. 49, prop. 4 et p. 48, cor. 1). Pour tout $i\in I$, posons $V_i=\overset{-1}{p}(B_i)$ ; on a $\overline{V_i}\subset \overset{-1}{p}(B_i)\subset \overset{-1}{p}(A_i)$ et $V_i=\overset{-1}{g_{i}}(B_i\times F_i)$, d’où $\overline{V_i}\subset \overset{-1}{g_{i}}(B_i\times F_i)$. Comme B est paracompact, $\overline{B_i}$ est paracompact (TG, I, p. 69, prop. 16) et $\overline{B_i}\times F_i$ est paracompact (TG, I, p. 70, prop. 18). Par suite, $\overset{-1}{g_{i}}(B_i\times F_i)$ est paracompact, donc $\overline{V_i}$ aussi (TG, I, p. 69, prop. 16). La famille $(V_i)_{i\in I}$ est, par construction, un recouvrement ouvert localement fini de E. Enfin, l’espace E est séparé (I, p. 26, remarque 3). Il satisfait donc aux hypothèses du lemme, d’où la proposition.