§ 3. Faisceaux

1. Faisceaux d’ensembles

Soit B un espace topologique.

Autrement dit (E, III, p. 52), un préfaisceau $\mathscr{F}$ sur B relatif à $\mathscr{B}$ est un couple $((\mathscr{F}(U))_{U\in\mathscr{B}},(f_{UV}))$, que l’on note aussi $(\mathscr{F}(U), f_{UV})$, où $((\mathscr{F}(U))_{U\in\mathscr{B}}$ est une famille d’ensembles ayant $\mathscr{B}$ pour ensemble d’indices et où pour chaque couple $(U,V)$ d’éléments de $\mathscr{B}$ tel que $U\subset V,f_{UV}$ est une application de $\mathscr{F}(V)$ dans $\mathscr{F}(U)$, ces applications vérifiant les conditions suivantes :

(PF$_1$) Les relations $U\subset V\subset W$ entraînent $f_{UW}=f_{UV}\circ f_{VW}$;

(PF$_2$) Pour tout ouvert U $\in \mathscr{B},f_{UU}$ est l’application identique de

Un préfaisceau sur B relatif à l’ensemble des parties ouvertes de B est simplement appelé préfaisceau sur B.

Soit $\mathscr{F}= (\mathscr{F}(U), f_{UV})$ un préfaisceau sur B, relatif à une base $\mathscr{B}$ de la topologie de B. Soit U un élément de la base $\mathscr{B}$. Les éléments de $\mathscr{F}(U)$ s’appellent les sections de $\mathscr{F}$ sur U. Si V est un élément de la base $\mathscr{B}$ contenant U et $s$ un élément de $\mathscr{F}(V)$, l’élément $f_{UV}(s)$ de $\mathscr{F}(U)$ s’appelle la restriction de $s$ à U. Si aucune ambiguïté n’est à craindre sur les applications $f_{UV}$, on notera $s|U$ la restriction de $s$ à U.

Soient $B'$ une partie ouverte de B et $\mathscr{B}'$ une base de la topologie de $B'$ telle que $\mathscr{B}'\subset \mathscr{B}$. On appelle préfaisceau sur $B'$, relatif à $\mathscr{B}'$, déduit de $\mathscr{F}$ par restriction, et on note $\mathscr{F}|\mathscr{B}'$, le système projectif $((\mathscr{F}(U))_{U\in\mathscr{B}'},(f_{UV}))$ déduit de $\mathscr{F}$ par restriction à $\mathscr{B}'$ de l’ensemble d’indices (loc. cit.). Lorsque $\mathscr{F}$ est un préfaisceau sur B et que $\mathscr{B}'$ est l’ensemble des parties ouvertes de $B'$, le préfaisceau $\mathscr{F}|\mathscr{B}'$ est aussi noté $\mathscr{F}|B'$ et appelé préfaisceau déduit de $\mathscr{F}$ par restriction à $B'$.

$(F_1)$ L’application $(f_{U_iU})_{i\in I}:\mathscr{F}(U)\rightarrow \prod_{i\in I}\mathscr{F}(U_i)$ est injective ;

$(F_2)$ Pour toute famille $(s_i)\in \prod_{i\in I}\mathscr{F}(U_i)$ telle que $f_{(U_i\cap U_j)U_i}(s_i) =$

$f_{(U_i\cap U_j)U_j}(s_j)$ pour tout couple $(i, j)\in I\times I$, il existe un élément $s$

de $\mathscr{F}(U)$ tel que pour tout $i\in I$, on ait $f_{U_iU}(s) =s_i$.

2. Sous-faisceaux d’un faisceau

Soit B un espace topologique. Soit $\mathscr{F}= (\mathscr{F}(U), f_{UV})$ un préfaisceau sur B, relatif à une base $\mathscr{B}$ de la topologie de B.

Supposons donné, pour tout ouvert $U\in \mathscr{B}$, un sous-ensemble $\mathscr{L}(U)$ de $\mathscr{F}(U)$. Si l’on a $f_{UV}(\mathscr{L}(V))\subset \mathscr{L}(U)$ pour tout couple $(U,V)$ d’éléments de $\mathscr{B}$ tel que $U\subset V$, le couple $\mathscr{L}= ((\mathscr{L}(U))_{U\in\mathscr{B}},(f'_{UV}))$, où $f'_{UV}:\mathscr{L}(V)\rightarrow \mathscr{L}(U)$ est l’application déduite de $f_{UV}$, est un préfaisceau. Un tel préfaisceau s’appelle un sous-préfaisceau de $\mathscr{F}$. Comme les applications $f'_{UV}$ sont déterminées par la donnée du préfaisceau $\mathscr{F}$ et de la famille $(\mathscr{L}(U))_{U\in\mathscr{B}}$, on dit aussi par abus de langage que la famille $(\mathscr{L}(U))_{U\in\mathscr{B}}$ est un sous-préfaisceau de $\mathscr{F}$.

Supposons maintenant que $\mathscr{F}$ soit un faisceau sur B et soit, pour toute partie ouverte U de B$,\mathscr{L}(U)$, un sous-ensemble de $\mathscr{F}(U)$. Pour que $(\mathscr{L}(U))_{U\in\mathscr{B}}$ soit un sous-préfaisceau de $\mathscr{F}$, et que ce préfaisceau soit un faisceau, il faut et il suffit que la condition suivante soit satisfaite :

(F) Soient $(U_i)_{i\in I}$ une famille d’ouverts de B, U sa réunion, et $s$ un

élément de $\mathscr{F}(U)$. Pour que $s$ appartienne à $\mathscr{L}(U)$, il faut et il

suffit que pour tout $i$ dans I$,f_{U_iU}(s)$ appartienne à $\mathscr{L}(U_i)$.

En effet, si la condition (F) est réalisée, on a $f_{UV}(\mathscr{L}(V))\subset \mathscr{L}(U)$ pour tout couple $(U,V)$ d’ouverts de B tels que $U\subset V$ et les propriétés $(F_1)$ et $(F_2)$ relatives au sous-préfaisceau $(\mathscr{L}(U))$ résultent des propriétés analogues relatives au faisceau $\mathscr{F}$. La réciproque est immédiate.

Lorsque la condition (F) est satisfaite, on dit que $(\mathscr{L}(U))$ est un sous-faisceau du faisceau $\mathscr{F}$.

3. Exemples de faisceaux

Soit B un espace topologique.

1) Faisceaux d’applications

Soit X un ensemble. Pour tout ouvert U de B, on note $\mathscr{F}(U; X)$ l’ensemble des applications de U dans X (E, II, p. 31). Pour tout couple $(U,V)$ d’ouverts de B tel que $U\subset V$, soit $r_{UV}:\mathscr{F}(V; X)\rightarrow$ $\mathscr{F}(U; X)$ l’application de restriction $f\mapsto f|U$. Il est clair que le couple $(\mathscr{F}(U; X), r_{UV})$ est un faisceau sur B. On l’appelle le faisceau sur B des applications à valeurs dans X, et on le note $\mathscr{F}(B; X)$.

2) Faisceaux d’applications continues

Soit X un espace topologique. Pour tout ouvert U de B, soit $\mathscr{C}(U; X)$ l’ensemble des applications continues de U dans X. Alors, $(\mathscr{C}(U; X))$ est un sous-faisceau du faisceau $\mathscr{F}(B; X)$ d’après la prop. 4 de TG, I, p. 19. Le faisceau ainsi obtenu est noté $\mathscr{C}(B; X)$ et appelé le faisceau sur B des applications continues à valeurs dans X. Dans le cas particulier où X est muni de la topologie discrète, le faisceau $\mathscr{C}(B; X)$ prend le nom de faisceau sur B des applications localement constantes à valeurs dans X.

3) Faisceaux de sections continues

Soit E un espace topologique et soit $p: E\rightarrow B$ une application continue. Pour tout ouvert U de B, on note $\mathscr{S}(U;p)$ (ou $\mathscr{S}(U; E)$ lorsqu’il n’y a pas de confusion possible) l’ensemble des sections continues de $p$ au-dessus de U. La famille $(\mathscr{S}(U;p))$ est un sous-faisceau du faisceau $\mathscr{C}(B; E)$. Le faisceau ainsi obtenu est noté $\mathscr{S}(B; E)$ ou simplement $\mathscr{S}(E)$ et appelé le faisceau sur B des sections continues du B-espace $(E, p)$. Nous verrons au n$^o6$ ci-dessous que tout faisceau sur B est isomorphe au faisceau sur B des sections continues d’un B-espace étalé.

4) Faisceaux de B-morphismes

Soient $(E, p)$ et $(E', p')$ des B-espaces. Pour tout ouvert U de E, on note $\mathscr{C}_B(U; E')$ l’ensemble des B-morphismes de $(U, p|U)$ dans $(E', p')$. La famille $(\mathscr{C}_B(U; E'))$ est un sous-faisceau du faisceau $\mathscr{C}(E; E')$. Le faisceau ainsi obtenu est noté $\mathscr{C}_B(E; E')$ et appelé le faisceau sur E des B-morphismes à valeurs dans $(E', p')$. Lorsque $(E, p)$ est égal à $(B$, Id$_B)$, ce faisceau est le faisceau $\mathscr{S}(B; E)$ de l’exemple 3.

Pour tout ouvert U de B, soit $\mathscr{M}(U)$ l’ensemble des U-morphismes

de $\overset{-1}{p}(U)$ dans $(^-{p'}^1)(U)$. Pour tout couple $(U,V)$ d’ouverts de B tel que $U\subset V$, soit $m_{UV}:\mathscr{M}(V)\rightarrow \mathscr{M}(U)$ l’application qui à un V-morphisme

$f:\overset{-1}{p}(V)\rightarrow (^-{p'}^1)(V)$ associe le U-morphisme de $\overset{-1}{p}(U)$ dans $(^-{p'}^1)(U)$ déduit de $f$ par passage aux sous-ensembles. Alors $(\mathscr{M}(U), m_{UV})$ est un faisceau sur B. On le note $\mathscr{M}$or$_B(E; E')$ et on l’appelle le faisceau sur B des B-morphismes de $(E, p)$ dans $(E', p')$.

Pour tout ouvert U de B, soit $\mathscr{I}$s(U) le sous-ensemble de $\mathscr{M}(U)$

constitué des U-isomorphismes de $\overset{-1}{p}(U)$ dans $(^-{p'}^1)(U)$. La famille $(\mathscr{I}$s(U)) est un sous-faisceau du faisceau $\mathscr{M}$or$_B(E; E')$ des morphismes de $(E, p)$ dans $(E', p')$. Le faisceau ainsi obtenu est noté $\mathscr{I}$som$_B(E; E')$ et appelé faisceau sur B des B-isomorphismes de $(E, p)$ dans $(E', p')$.

5) Faisceaux d’applications de classe $C^r$

Soient X et Y des variétés de classe $C^r$ sur un corps K (les conventions sur K et $r$ étant celles de VAR, R). Pour tout ouvert U de X, soit $\mathscr{C}^r(U; Y)$ l’ensemble des morphismes de classe $C^r$ de U dans Y. La famille $(\mathscr{C}^r(U; Y))$ est un sous-faisceau du faisceau $\mathscr{C}(X; Y)$. Le faisceau ainsi obtenu est noté $\mathscr{C}^r(X; Y)$ et appelé le faisceau sur X des applications de classe $C^r$ à valeurs dans Y (cf. VAR, R, 5.4.2).

6) Faisceaux de sous-espaces

Si U et V sont des ouverts de B tels que $U\subset V$, notons $i_{UV}:\mathfrak{P}(V)\rightarrow$ $\mathfrak{P}(U)$ l’application qui, à une partie A de V, associe $A\cap U$. Le couple $(\mathfrak{P}(U), i_{UV})$ est un faisceau, appelé faisceau des sous-espaces de B et noté $\mathfrak{P}(B)$. En effet, si l’on note X l’ensemble $\{0; 1\}$, l’application qui à toute partie A de U associe sa fonction caractéristique $\varphi^U_A: U\rightarrow X$ est une bijection de $\mathfrak{P}(U)$ sur $\mathscr{F}(U; X)$ (E, III, p. 38) ; de plus, si U et V sont des ouverts tels que $U\subset V$, pour toute partie A de V$,\varphi^U_{A\cap U}$ est la restriction à U de $\varphi^V_A$ de sorte que $\mathfrak{P}(B)$ s’identifie au faisceau sur B des applications à valeurs dans X.

Soit, pour tout ouvert U de B$,\mathscr{L}(U)$ une partie de $\mathfrak{P}(U)$. Pour que $(\mathscr{L}(U))$ soit un sous-faisceau de $\mathfrak{P}(B)$, il faut et il suffit que la condition suivante soit satisfaite :

$(F')$ Soient $(U_i)_{i\in I}$ une famille d’ouverts de B, U sa réunion, et A un

sous-ensemble de U ; pour que A appartienne à $\mathscr{L}(U)$, il faut et

il suffit que pour tout $i$ dans I, $A\cap U_i$ appartienne à $\mathscr{L}(U_i)$.

Par exemple, si $\mathscr{L}(U)$ est l’ensemble des parties fermées de U, la condition $(F')$ est satisfaite.

7) Produits de faisceaux

Soit $\mathscr{B}$ une base de la topologie de B et soit I un ensemble. Pour tout $i\in I$, soit $\mathscr{F}_i= (\mathscr{F}_i(U), f_{i,UV})$ un préfaisceau sur B relatif à la base $\mathscr{B}$. Pour tout ouvert $U\in \mathscr{B}$, posons $\mathscr{F}(U) =\prod_{i\in I}\mathscr{F}_i(U)$, et pour tout couple $(U,V)$ d’éléments de $\mathscr{B}$ tel que $U\subset V$, notons $f_{UV}$ l’application $(f_{i,UV})_{i\in I}:\mathscr{F}(V)\rightarrow \mathscr{F}(U)$. Alors $(\mathscr{F}(U), f_{UV})$ est un préfaisceau sur B relatif à $\mathscr{B}$ appelé le préfaisceau produit de la famille $(\mathscr{F}_i)$ et noté $\prod_{i\in I}\mathscr{F}_i$. C’est un faisceau si pour tout $i\in I,\mathscr{F}_i$ est un faisceau.

4. Morphismes de préfaisceaux

Autrement dit (E, III, p. 54), un morphisme de préfaisceaux de $\mathscr{F}$ dans $\mathscr{G}$ est une famille $(\varphi_U)_{U\in\mathscr{B}}$ telle que :

(MPF$_1$) Pour tout ouvert U appartenant à $\mathscr{B},\varphi_U$ est une application

de $\mathscr{F}(U)$ dans $\mathscr{G}(U)$ ;

(MPF$_2$) Pour tout couple $(U,V)$ d’ouverts appartenant à $\mathscr{B}$ tels que

$U\subset V$, on a $\varphi_U\circ f_{UV}=g_{UV}\circ \varphi_V$.

Lorsque $\mathscr{F}$ et $\mathscr{G}$ sont des faisceaux, un morphisme de préfaisceaux de $\mathscr{F}$ dans $\mathscr{G}$ est aussi appelé un morphisme de faisceaux. Si $\mathscr{F}$ et $\mathscr{G}$ sont des préfaisceaux sur B relatifs à $\mathscr{B}$, les morphismes de préfaisceaux de $\mathscr{F}$ dans $\mathscr{G}$ constituent un ensemble noté Mor($\mathscr{F};\mathscr{G}$). Au lieu de dire : « soit $\varphi$ un morphisme de préfaisceaux de $\mathscr{F}$ dans $\mathscr{G}$ », on dira souvent « soit $\varphi :\mathscr{F}\rightarrow \mathscr{G}$ un morphisme de préfaisceaux ».

Soient $\mathscr{F},\mathscr{G},\mathscr{H}$ des préfaisceaux sur B relatifs à $\mathscr{B}$ et $\varphi :\mathscr{F}\rightarrow \mathscr{G}$, $\psi :\mathscr{G}\rightarrow \mathscr{H}$ des morphismes de préfaisceaux. La famille $(\psi_U\circ \varphi_U)_{U\in\mathscr{B}}$ est un morphisme de préfaisceaux de $\mathscr{F}$ dans $\mathscr{H}$ que l’on note $\psi \circ \varphi$. La famille (Id$_{\mathscr{F}(U)}$)$_{U\in\mathscr{B}}$ est un morphisme de préfaisceaux de $\mathscr{F}$ dans lui-même que l’on note Id$_{\mathscr{F}}$.

Pour qu’un morphisme de préfaisceaux $\varphi = (\varphi_U):\mathscr{F}\rightarrow \mathscr{G}$ soit un isomorphisme, il faut et il suffit que, pour tout ouvert U de $\mathscr{B},\varphi_U$ soit une bijection de $\mathscr{F}(U)$ sur $\mathscr{G}(U)$. Il est équivalent de dire qu’il existe un morphisme de préfaisceaux $\psi :\mathscr{G}\rightarrow \mathscr{F}$ tel que $\psi \circ \varphi =$ Id$_{\mathscr{F}}$ et $\varphi \circ \psi =$ Id$_{\mathscr{G}}$.

Soient $\mathscr{F}$ et $\mathscr{G}$ des préfaisceaux sur B, relatifs à une base $\mathscr{B}$ de la topologie de B, soit $B'$ une partie ouverte de B et soit $\mathscr{B}'$ une base de la topologie de $B'$ telle que $\mathscr{B}'\subset \mathscr{B}$. Soit $\varphi = (\varphi_U)_{U\in\mathscr{B}}$ un morphisme de préfaisceaux de $\mathscr{F}$ dans $\mathscr{G}$. Alors $(\varphi_U)_{U\in\mathscr{B}'}$ est un morphisme de préfaisceaux de $\mathscr{F}|\mathscr{B}'$ dans $\mathscr{G}|\mathscr{B}'$, que l’on note $\varphi |\mathscr{B}'$. Lorsque $\mathscr{B}$ est l’ensemble des parties ouvertes de B et $\mathscr{B}'$ l’ensemble des parties ouvertes de $B',\varphi |\mathscr{B}'$ est un morphisme de préfaisceaux de $\mathscr{F}|B'$ dans $\mathscr{G}|B'$ et est aussi noté $\varphi |B'$.

5. Espace étalé associé à un préfaisceau

Soient B un espace topologique, $\mathscr{B}$ une base de la topologie de B et $\mathscr{F}= (\mathscr{F}(U), r_{UV})$ un préfaisceau sur B relatif à la base $\mathscr{B}$. Soit L l’ensemble des couples $(U, s)$ avec U $\in \mathscr{B}$ et $s\in \mathscr{F}(U)$. Notons $X_{\mathscr{F}}$ l’espace somme de la famille $(U)_{(U,s)\in L}$. Ainsi $X_{\mathscr{F}}$ est l’ensemble des triplets $(U, s, x)$ où $U\in \mathscr{B},s\in \mathscr{F}(U),x\in U$. Soit $R_{\mathscr{F}}$ la relation dans l’ensemble $X_{\mathscr{F}}$ définie par $R_{\mathscr{F}}((U, s, x),(U', s', x'))$ si et seulement si « $x$ = $x'$ et il existe W $\in \mathscr{B}$ tel que $x\in W$, W $\subset U\cap U'$ et $r_{WU}(s) =r_{WU'}(s')$ ». La relation $R_{\mathscr{F}}$ est une relation d’équivalence dans $X_{\mathscr{F}}:$ elle est, par définition, réflexive et symétrique ; démontrons qu’elle est transitive. Soient $\xi = (U, s, x),\xi '= (U', s', x')$ et $\xi ''$ = $(U'', s'', x'')$ des éléments de $X_{\mathscr{F}}$ tels que l’on ait $R_{\mathscr{F}}(\xi , \xi ')$ et $R_{\mathscr{F}}(\xi ', \xi '')$. On a alors $x=x'$ = $x''$ et il existe deux éléments $W'$ et $W''$ de $\mathscr{B}$ contenant $x$ tels que $W'\subset U\cap U',W''\subset U'\cap U'',r_{W'U}(s) =$ $r_{W'U'}(s'),r_{W''U'}(s') =r_{W''U''}(s'')$. Soit W un élément de $\mathscr{B}$ contenant $x$ et contenu dans $W'\cap W''$. On a alors $W\subset U\cap U''$,

et, de même, $r_{WU'}(s') =r_{WU''}(s'')$. Par conséquent, on a $R_{\mathscr{F}}(\xi , \xi '')$ et la relation $R_{\mathscr{F}}$ est transitive.

Notons $E_{\mathscr{F}}$ l’ensemble quotient $X_{\mathscr{F}}/R_{\mathscr{F}}$ et $[U, s, x]$ l’image canonique dans $E_{\mathscr{F}}$ d’un élément $(U, s, x)$ de $X_{\mathscr{F}}$. Pour $U\in \mathscr{B}$ et $s\in \mathscr{F}(U)$, notons $\sigma_{\mathscr{F}}(U, s): U\rightarrow E_{\mathscr{F}}$ l’application $x\mapsto [U, s, x]$. Munissons l’ensemble $E_{\mathscr{F}}$ de la topologie quotient, c’est-à-dire de la topologie la plus fine rendant continues les applications $\sigma_{\mathscr{F}}(U, s)$ pour $U\in \mathscr{B}$ et $s\in \mathscr{F}(U)$. L’application pr$_3: X_{\mathscr{F}}\rightarrow B$ définit par passage au quotient une application continue $p: E_{\mathscr{F}}\rightarrow B$ : on a $p([U, s, x]) =x$.

Soit $a$ un point de B. L’ensemble $\mathscr{B}(a)$ des ouverts $U\in \mathscr{B}$ contenant $a$ et ordonné par la relation $\supset$ est filtrant. On déduit de $\mathscr{F}$, par restriction à $\mathscr{B}(a)$ de l’ensemble d’indices, un système inductif $((\mathscr{F}(U))_{U\in\mathscr{B}(a)},(r_{UV}))$. Par définition (E, III, p. 60), la limite inductive de ce système est le quotient de l’ensemble des couples $(U, s)$ tels que $a\in U$ et $s\in \mathscr{F}(U)$ par la relation d’équivalence R définie par $R((U, s),(U', s'))$ si et seulement s’il existe W $\in \mathscr{B}$ contenant $a$ et contenu dans $U\cap U'$ et tel que $r_{WU}(s) =r_{WU'}(s')$. Cette limite s’identifie donc à la tige $\mathscr{F}_a$ de $\mathscr{F}$ en $a$, par définition des limites inductives.

Soit $\mathscr{G}$ un préfaisceau sur B relatif à la base $\mathscr{B}$ et soit $\varphi = (\varphi_U)_{U\in\mathscr{B}}$ un morphisme de préfaisceaux de $\mathscr{F}$ dans $\mathscr{G}$. L’application $(U, s, x)\mapsto$ $(U, \varphi_U(s), x)$ de $X_{\mathscr{F}}$ dans $X_{\mathscr{G}}$ est compatible avec les relations d’équivalence $R_{\mathscr{F}}$ et $R_{\mathscr{G}}$, par définition d’un morphisme de préfaisceaux. Notons $E(\varphi ): E_{\mathscr{F}}\rightarrow E_{\mathscr{G}}$ l’application qui s’en déduit par passage aux quotients. Pour tout $U\in \mathscr{B}$ et tout $s\in \mathscr{F}(U)$, on a

par suite, l’application $E(\varphi )$ est continue. L’application $E(\varphi )$ est un B-morphisme ; on dit que c’est le B-morphisme de $E_{\mathscr{F}}$ dans $E_{\mathscr{G}}$ associé au morphisme de préfaisceaux $\varphi$. Pour tout $a\in B$, $E(\varphi )$ définit par restrictions aux fibres en $a$ une application de la tige $\mathscr{F}_a$ de $\mathscr{F}$ dans la tige $\mathscr{G}_a$ de $\mathscr{G}$; on la note $\varphi_a$. C’est aussi la limite inductive des applications $\varphi_U$ (E, III, p. 63), où U parcourt l’ensemble $\mathscr{B}(a)$ des ouverts appartenant à la base $\mathscr{B}$ et qui contiennent $a$.

On a E(Id$_{\mathscr{F}}$) $=$ Id$_{E_{\mathscr{F}}}$.

Soit $\mathscr{H}$ un préfaisceau sur B relatif à $\mathscr{B}$ et soit $\psi = (\psi_U)$ un morphisme de préfaisceaux de $\mathscr{G}$ dans $\mathscr{H}$. Pour $[U, s, x]\in E_{\mathscr{F}}$, on a

Par suite, on a $E(\psi \circ \varphi ) = E(\psi )\circ E(\varphi )$. En particulier, si $a$ est un point de B, $(\psi \circ \varphi )_a=\psi_a\circ \varphi_a$.

Si $\varphi$ est un isomorphisme, Il en est de même de $E(\varphi )$.