§ 5. Không gian sợi chính

1. Không gian sợi chính

Định nghĩa 1 01Q5

Cho G là một nhóm tôpô và B là một không gian tôpô. Một không gian sợi chính (phải) với cơ sở B và nhóm G là một B-không gian $(E, p)$ được trang bị một phép toán phải của G trên E (A, I, p. 50) có tính chất sau:

(FP) Với mọi điểm $b$ của B, tồn tại một lân cận U của $b$ và một

U-đẳng cấu $f: U\times G\rightarrow \overset{-1}{p}(U)$ sao cho với mọi $u\in U$

và $g,g'\in G$ , ta có $f(u, gg') =f(u, g)\cdot g'$ .

Thay vì nói rằng $(E, p)$ là một không gian sợi chính với cơ sở B và nhóm G, đôi khi người ta nói rằng bộ bốn $(E,G,B, p)$ là một phân thớ chính (xem VAR, R, § 6), hoặc, theo cách lạm dụng, rằng ánh xạ $p: E\rightarrow B$ là một phân thớ chính với cơ sở B và nhóm G.

Khi không thể có sự nghi ngờ nào về cơ sở B, nhóm G và phép toán của G trên E, ta sẽ chỉ đơn giản nói rằng $(E, p)$ là một không gian sợi chính.

Cho G là một nhóm tôpô. Cho $(E, p)$ là một B-không gian được trang bị một phép toán trái của G. Nếu, đối với phép toán phải của nhóm đối $G^{\circ}$ đối với phép toán đã cho (A, I, p. 50), $(E, p)$ là một không gian sợi chính phải với nhóm $G^{\circ}$ , thì ta nói rằng $(E, p)$ là một không gian sợi chính trái với nhóm G.

Một không gian sợi chính là một không gian sợi tầm thường địa phương (I, p. 68, def. 1).

Từ tính chất (FP) suy ra rằng nhóm G tác dụng liên tục (TG, III, p. 9) và tự do trên E, và các quỹ đạo của phép toán này là các sợi của B-không gian $(E, p)$ . Ánh xạ $p': E/G\rightarrow B$ suy ra từ $p$ là liên tục và song ánh. Cũng từ tính chất (FP), ánh xạ $p$ là mở (TG, I, p. 30, prop. 2 and p. 26, prop. 5); do đó $p'$ là một đồng phôi (TG, I, p. 32, prop. 3).

Cho $(E, p)$ và $(E', p')$ là các không gian sợi chính với cơ sở B và nhóm G. Một ánh xạ $f: E\rightarrow E'$ được gọi là một cấu xạ của các không gian sợi chính (với cơ sở B và nhóm G) nếu $f$ là một B-cấu xạ và nếu ta có $f(x\cdot g) =f(x)\cdot g$ với mọi $x\in E$ và mọi $g\in G$ . Cho $(E'', p'')$ là một không gian sợi chính với cơ sở B và nhóm G. Nếu $f: E\rightarrow E'$ và $g: E'\rightarrow E''$ là các cấu xạ của các không gian sợi chính, thì ánh xạ $g\circ f: E\rightarrow E''$ là một cấu xạ của các không gian sợi chính. Phù hợp với các định nghĩa tổng quát (E, IV, p. 11), ta có thể lấy làm cấu xạ của cấu trúc không gian sợi chính với cơ sở B và nhóm G các cấu xạ được định nghĩa ở trên. Ta ký hiệu bởi $\mathscr{C}_B^G(E; E')$ tập hợp các cấu xạ của các không gian sợi chính từ $(E, p)$ vào $(E', p')$ .

Một không gian sợi chính tầm thường với cơ sở B và nhóm G là B-không gian $(B\times G$ , pr $_1)$ được trang bị luật của phép toán phải của G trên $B\times G$ được định nghĩa bởi $(b, g)\cdot h= (b, gh)$ .

Một không gian sợi chính $(E, p)$ với cơ sở B và nhóm G được gọi là tầm thường hoá được nếu tồn tại một đẳng cấu của $(E, p)$ lên không gian sợi chính tầm thường $(B\times G$ , pr $_1)$ ; một đẳng cấu như vậy được gọi là một sự tầm thường hoá của không gian sợi chính $(E, p)$ . Tính chất (FP) biểu thị rằng tồn tại một phủ mở $(U_i)_{i\in I}$ của B sao cho, với mọi $i\in I$ , $U_i$ -không gian $(\overset{-1}{p}(U_i), p|U_i)$ , được trang bị phép toán phải của G suy ra từ phép toán của G trên E, là một không gian sợi chính tầm thường hoá được.

Ví dụ 1 01Q6

Cho $(E, p)$ là một không gian sợi chính với cơ sở B và nhóm G, và cho A là một không gian con của B. Không gian con $E_A=\overset{-1}{p}(A)$ của E là ổn định dưới phép toán của G, và ánh xạ $p_A: E_A\rightarrow A$ làm cho nó thành một không gian sợi chính với cơ sở A và nhóm G. Ta nói rằng $(E_A, p_A)$ là không gian sợi chính cảm sinh bởi $(E, p)$ trên A.

Ví dụ 2 01Q7

Cho $(E, p)$ là một không gian xơ chính có cơ sở B và nhóm G; cho $(E', p')$ là một không gian xơ chính có cơ sở $B'$ và nhóm $G'$ . Ta định nghĩa một luật phép toán ở bên phải của nhóm $G\times G'$ trên không gian $E\times E'$ bằng cách đặt $(x, x')\cdot (g, g') = (x\cdot g, x'\cdot g')$ với $x\in E,x'\in E',g\in G$ và $g'\in G'$ ; phép toán này liên tục. Cho U là một tập mở của B và $f: U\times G\rightarrow \overset{-1}{p}(U)$ là một tầm thường hóa của U-không gian $(\overset{-1}{p}(U), p_U)$ ;

cho $U'$ là một tập mở của $B'$ và $f': U'\times G'\rightarrow (^-{p'}^1)(U')$ là một tầm thường hóa của $U'$ -không gian ( $(^-{p'}^1)(U'), p'_U$ ). Ánh xạ $((b, b'),(g, g'))\mapsto$ $(f(b, g), f'(b', g'))$ là một $(U\times U')$ -đẳng cấu $f''$ của $(U\times U')\times (G\times G')$

lên $\overset{-1}{p}(U)\times (^-{p'}^1)(U')$ và ta có

f''((b, b'),(gh, g'h')) = (f(b, gh), f'(b', g'h')) =f''((b, b'),(g, g'))\cdot (h, h')

Suy ra rằng $(B\times B')$ -không gian $E\times E'$ , được trang bị luật phép toán của $G\times G'$ được định nghĩa ở trên, là một không gian xơ chính, được gọi là tích của các không gian xơ chính E và $E'$ .

Ví dụ 3 01Q8

Đặc biệt, khi $B = B'$ , B-không gian $E\times_BE'$ được đồng nhất với không gian xơ chính có nhóm $G\times G'$ cảm sinh bởi $E\times E'$ trên đường chéo $\Delta_B$ của $B\times B$ . Được trang bị cấu trúc không gian xơ chính này, B-không gian $E\times_BE'$ được gọi là tích xơ của các không gian xơ chính E và $E'$ .

Ví dụ 4 01Q9

Cho E là một không gian xơ chính có cơ sở B và nhóm G và cho F là một không gian tôpô. $(B\times F)$ -không gian $E\times F$ được trang bị luật phép toán $(x, y)\cdot g= (x\cdot g, y)$ , với $x\in E,y\in F$ và $g\in G$ , là một không gian xơ chính có nhóm G. Đây là trường hợp riêng của Ví dụ 2, trong đó $p'$ là ánh xạ đồng nhất của F và $G'$ là một nhóm thu về phần tử đơn vị.

Ví dụ 5 01QA

Cho B là một không gian tôpô và $(E, p)$ là một không gian xơ chính có cơ sở B và nhóm G. Cho $B'$ là một không gian tôpô và $f: B'\rightarrow B$ là một ánh xạ liên tục. Nhóm G tác dụng ở bên phải trong tích xơ $B'\times_BE$ theo luật $(b', x)\cdot g= (b', x\cdot g)$ , với $b'\in B',x\in E$ và $g\in G$ . Phép toán này liên tục và tự do; các quỹ đạo là các thớ của ánh xạ pr $_1: B'\times_BE\rightarrow B'$ . Từ các Ví dụ 1 và 4 ở trên và Nhận xét 2 của I, p. 16 suy ra rằng $B'$ -không gian $B'\times_BE$ là một không gian xơ chính có nhóm G. Nó được gọi là không gian xơ chính suy ra từ $(E, p)$ bởi phép thay đổi cơ sở $f$ , hoặc cũng lại là ảnh ngược của $(E, p)$ bởi $f$ .

Mệnh đề 1 01QB

Mọi cấu xạ của các không gian xơ chính đều là một đẳng cấu.

Cho $f: B\times G\rightarrow B\times G$ là một cấu xạ của không gian sợi chính chính tầm thường $(B\times G$ , pr $_1)$ vào chính nó và đặt $\varphi : B\times G\rightarrow G$ là ánh xạ liên tục pr $_2\circ f$ , sao cho $f(b, g) = (b, \varphi (b, g))$ . Với mọi $b\in B$ và mọi $g,h\in G$ , ta có $\varphi (b, gh) =\varphi (b, g)\cdot h$ , do đó $\varphi (b, g) =\varphi (b, e)\cdot g$ , trong đó $e$ chỉ phần tử đơn vị của G. Vậy cấu xạ $f$ là một đẳng cấu mà cấu xạ nghịch đảo $f^{-1}$ được xác định bởi $f^{-1}(b, g) =$ $(b, \varphi (b, e)^{-1}g)$ với $(b, g)\in B\times G$ .

Bây giờ cho E và $E'$ là các không gian sợi chính và cho $f: E\rightarrow E'$ là một cấu xạ của các không gian sợi chính. Xét tính chất (FP), với mọi điểm $b\in B$ , tồn tại một lân cận mở U của $b$ sao cho các không gian sợi chính $E_U$ và $E'_U$ đều khả tầm thường hóa. Khi chuyển qua các không gian con, $f$ cảm sinh một cấu xạ $f_U: E_U\rightarrow E'_U$ của các không gian sợi chính; theo điều đi trước, cấu xạ $f_U$ này là một đẳng cấu. Đặc biệt, $f_b: E_b\rightarrow E'_b$ là một song ánh. Khi đó tồn tại một ánh xạ duy nhất $g: E'\rightarrow E$ cảm sinh song ánh $f_b^{-1}$ khi chuyển qua các không gian con. Theo Mệnh đề 4 của I, p. 19, ánh xạ $g$ là liên tục, vậy $f$ là một đẳng cấu của các không gian sợi chính.

Hệ quả 01QC

Cho G là một nhóm tôpô, $(E, p)$ và $(E', p')$ là các không gian sợi chính nhóm G và có các cơ sở lần lượt là B và $B'$ . Cho $f: B'\rightarrow$ B và $f': E'\rightarrow$ E là các ánh xạ liên tục sao cho $p\circ f'=f\circ p'$ và sao cho, với mọi $x'\in E'$ và mọi $g\in G$ , $f'(x'\cdot g) =f'(x')\cdot g$ . Khi đó hình vuông

${E'}^{f'}$ E

p'p

${B'}^f$ B

là một hình vuông Descartes.

Thật vậy, ánh xạ $h: E'\rightarrow B'\times_BE$ được xác định bởi $h(x') =$ $(p'(x'), f'(x'))$ với $x'\in E'$ , là một $B'$ -cấu xạ của các phủ chính, nên là một đẳng cấu; hơn nữa pr $_2\circ h=f'$ , do đó có kết quả phải chứng minh (I, p. 8, Mệnh đề 2).

Dưới các giả thiết của hệ quả đứng trước, đôi khi người ta nói rằng $f'$ là một $f$ -cấu xạ của các không gian sợi chính.

Mệnh đề 2 01QD

Cho $(E, p)$ là một không gian sợi chính có cơ sở B và nhóm G, và cho $\varepsilon$ là tiết diện $b\mapsto (b, e)$ của không gian sợi chính tầm thường $(B\times G$ , pr $_1)$ , trong đó $e$ ký hiệu phần tử đơn vị của G. Ánh xạ $h\mapsto h\circ \varepsilon$ là một song ánh từ $\mathscr{C}_B^G(B\times G; E)$ lên tập $\mathscr{S}(B; E)$ các tiết diện liên tục của $p$ . Song ánh ngược gán cho mỗi tiết diện liên tục $s$ của $p$ cấu xạ B $(b, g)\mapsto s(b)\cdot g$ .

Hệ quả 01QE

Một không gian sợi chính tầm thường hóa được khi và chỉ khi nó thừa nhận một tiết diện liên tục.

Mệnh đề 3 01QF

Cho E và B là các không gian tôpô, $p: E\rightarrow B$ một ánh xạ liên tục và G một nhóm tôpô tác động bên phải trên E. Các điều kiện sau là tương đương:

(i) Được trang bị với ánh xạ $p$ , E là một không gian sợi chính có cơ sở B và nhóm G;

(ii) Với mọi $x\in E$ và mọi $g\in G$ , ta có $p(x\cdot g) =p(x)$ , ánh xạ $\theta : (x, g)\mapsto (x, x\cdot g)$ là một phép đồng phôi từ $E\times G$ lên $E\times_BE$ và mọi điểm của B đều có một lân cận mà trên đó tồn tại một tiết diện liên tục của ánh xạ $p$ .

(i) $\Rightarrow$ (ii) : Giả sử rằng $(E, p)$ là một không gian sợi chính. Nhóm G tác động liên tục và tự do trong E, với các sợi của $p$ làm các quỹ đạo. Do đó ánh xạ $\theta$ là song ánh và liên tục. Chính xác hơn, nếu $E\times_BE$ được trang bị phép toán của G được xác định bởi $(x, y)\cdot g= (x, y\cdot g)$ , thì ánh xạ $\theta$ là một cấu xạ E từ không gian sợi chính tầm thường $E\times G$ vào không gian sợi chính $(E\times_BE\rightarrow E$ , pr $_1)$ (ví dụ 5), do đó là một đẳng cấu (mệnh đề 1). Các khẳng định khác của (ii) suy ra ngay lập tức từ định nghĩa.

(ii) $\Rightarrow$ (i) : Đặt $\varphi =$ pr $_2\circ \theta^{-1}$ , sao cho, với mọi $(x, y)\in$ $E\times_BE$ , ta có

\theta^{-1}(x, y) = (x, \varphi (x, y)) \tag{1}

Ánh xạ $\varphi : E\times_BE\rightarrow G$ là liên tục và, với $(x, y)\in E\times_BE$ , phần tử $\varphi (x, y)$ là phần tử duy nhất $g$ của G sao cho $y=x\cdot g$ . Cho $b$ là một điểm của B; cho U là một lân cận của $b$ và cho $s$ là một tiết diện liên tục của $p$ trên U. Với $(u, g)\in U\times G$ , đặt $f(u, g) =s(u)\cdot$ $g$ ; ánh xạ $f$ là một cấu xạ U từ $U\times G$ vào $\overset{-1}{p}(U)$ . Với $y\in \overset{-1}{p}(U)$ , đặt $f'(y) = (p(y), \varphi (s(p(y)), y))$ . Ánh xạ $f'$ là một cấu xạ U từ $\overset{-1}{p}(U)$ vào $U\times G$ . Ta có

(f\circ f')(y) =s(p(y))\cdot \varphi (s(p(y)), y) =y

Mặt khác, với $(u, g)\in U\times G$ , ta có

(f'\circ f)(u, g) =f'(s(u)\cdot g) = (u, \varphi (s(u), s(u)\cdot g)) = (u, g)

Do đó $f$ là một U-đẳng cấu. Suy ra $(E, p)$ là một không gian sợi chính với cơ sở B và nhóm G.

Nhận xét 1 01QG

Cho $(E, p)$ là một không gian sợi chính với cơ sở B và nhóm G. Với ký hiệu của mệnh đề 3, ánh xạ $\theta^{-1}: E\times_BE\rightarrow E\times G$ là một tầm thường hoá của không gian sợi chính pr $_1: E\times_BE\rightarrow E$ . Người ta nói rằng $\theta^{-1}$ là tầm thường hoá chính tắc của không gian sợi chính này.

Hệ quả 1 01QH

Cho G là một nhóm tôpô tác động liên tục bên phải trên một không gian tôpô E. Các điều kiện sau là tương đương:

(i) Không gian quỹ đạo $E/G$ là Hausdorff và không gian E, được trang bị ánh xạ chính tắc $p: E\rightarrow E/G$ , là một không gian sợi chính với nhóm G;

(ii) Nhóm G tác động đúng (TG, III, p. 27) và tự do trên E, và mỗi điểm của $E/G$ có một lân cận mà trên đó tồn tại một tiết diện liên tục của ánh xạ $p$ .

Đặt $B = E/G$ . Dưới mỗi giả thiết (i) và (ii), nhóm G tác động liên tục và tự do trên E, sao cho ánh xạ $\theta : (x, g)\mapsto (x, x\cdot g)$ là một song ánh liên tục từ $E\times G$ lên $E\times_BE$ . Hãy đặt mình dưới giả thiết này và ký hiệu bởi $\varphi : E\times_BE\rightarrow G$ ánh xạ pr $_2\circ \theta^{-1}$ . Xét đến công thức (1), để $\theta$ là một đồng phôi, điều kiện cần và đủ là ánh xạ $\varphi$ liên tục. Mặt khác, vì quan hệ tương đương do G xác định là mở (TG, III, p. 10, bổ đề 2), để không gian $E/G$ là Hausdorff, điều kiện cần và đủ là đồ thị $E\times_BE$ của quan hệ tương đương này đóng trong $E\times E$ (TG, I, p. 55, prop. 8). Sau cùng (TG, III, p. 31, prop. 6), để G tác động đúng trên E, điều kiện cần và đủ là $E\times_BE$ đóng trong $E\times E$ và ánh xạ $\varphi$ liên tục. Khi đó tính tương đương của các điều kiện (i) và (ii) suy ra từ prop. 3.

Hệ quả 2 01QI

Cho G là một nhóm tôpô, H là một nhóm con của G, và $p: G\rightarrow G/H$ là ánh xạ chính tắc. Nếu ánh xạ $p$ có một tiết diện liên tục trên một tập mở khác rỗng của $G/H$ , thì ánh xạ $p$ biến G thành một không gian sợi chính với cơ sở $G/H$ và nhóm H.

Nhờ các phép tịnh tiến trái, mỗi điểm của $G/H$ có một lân cận mà trên đó ánh xạ $p$ có một tiết diện liên tục. Mặt khác, với $(g, g')$ thuộc $G\times G$ , đặt $\varphi (g, g') =$ $g^{-1}g'$ . Nếu $p(g) =p(g'),\varphi (g, g')$ thuộc H. Ánh xạ $(g, g')\mapsto$ $(g, \varphi (g, g'))$ từ $G\times_{G/H}G$ vào $G\times H$ là liên tục và là nghịch đảo của ánh xạ liên tục $\theta : G\times H\rightarrow G\times_{G/H}G$ được xác định bởi $\theta (g, h) = (g, gh)$ , do đó suy ra hệ quả.

Nhận xét 2 01QJ

Tình huống này xuất hiện đặc biệt khi G là một nhóm Lie thực, có số chiều hữu hạn, đếm được ở vô cực, tác động bắc cầu và giải tích trên một đa tạp giải tích X. Nếu lấy H là nhóm ổn định của một điểm của X, thì ánh xạ $p$ là một phép chìm từ G lên không gian Lie thuần nhất $G/H$ , đẳng cấu với X (LIE, III, p. 109, hệ quả). Do đó nó có các tiết diện địa phương (VAR, p. 50).

2. Phủ chính

Định nghĩa 2 01QK

Cho B là một không gian tôpô và G là một nhóm. Trang bị cho G tôpô rời rạc. Một không gian sợi chính với cơ sở B và nhóm G được gọi là một phủ chính của B với nhóm G.

Thuật ngữ này là chính đáng, vì một B-không gian như thế là một phủ của B.

Một phủ chính với nhóm G của một không gian tôpô khác rỗng có một bậc, bằng Card G.

Mệnh đề 4 01QL

Cho B là một không gian tôpô, $(E, p)$ là một B-không gian, và G là một nhóm tôpô rời rạc tác động bên phải trên E. Các mệnh đề sau là tương đương:

(i) B-không gian E là một phủ chính với nhóm G;

(ii) Với mọi $g\in G$ và mọi $x\in E$ , ta có $p(x\cdot g) =p(x)$ , ánh xạ $p$ cảm sinh một đồng phôi từ $E/G$ lên B, và ánh xạ $\theta : (x, g)\mapsto (x, x\cdot g)$ là một đồng phôi từ $E\times G$ lên $E\times_BE$ ;

(iii) Nhóm G tác động liên tục và tự do trên E, ánh xạ $p$ là etale, và các thớ của nó là các quỹ đạo của G.

(i) $\Rightarrow$ (ii) : Điều này suy ra từ I, p. 91 và từ mệnh đề 3 của I, p. 94.

(ii) $\Rightarrow$ (iii): Dưới giả thiết (ii), luật tác động của G là liên tục, và ánh xạ $p$ là toàn ánh và mở (TG, III, p. 10, bổ đề 2). Cho $x\in E$ ; ánh xạ $\theta$ cảm sinh một song ánh từ $\{x\} \times G$ lên $\{x\} \times$ $\overset{-1}{p}(p(x))$ , do đó nhóm G tác động tự do và các quỹ đạo của nó là các thớ của $p$ . Nếu $e$ ký hiệu phần tử đơn vị của G, thì đường chéo của $E\times_BE$ là ảnh của $E\times \{e\}$ qua đồng phôi $\theta$ . Vì nhóm G là rời rạc, tập $\{e\}$ là mở trong G, do đó đường chéo $\Delta_E$ là mở trong $E\times_BE$ . Theo mệnh đề 7 của I, p. 31, ánh xạ $p$ là étale.

(iii) $\Rightarrow$ (i): Vì mọi thớ của $p$ là một quỹ đạo của tác động của G trong E, ánh xạ $p$ là toàn ánh. Vì ánh xạ $p$ là étale, với mọi điểm $b$ của B, tồn tại một lân cận mở U của $b$ và một tiết diện liên tục $s$ của $p$ trên U. Tập $s(U)$ là mở trong E và $s$ cảm sinh một đồng phôi từ U lên $s(U)$ (I, p. 30, hệ quả 3). Với mọi $g\in G$ , tập $s(U)\cdot g$ là mở trong E và hợp của các tập $s(U)\cdot g$ , với mọi $g\in G$ , bằng $\overset{-1}{p}(U)$ . Nếu $g$ và $g'$ là hai phần tử phân biệt của G, thì các tập $s(U)\cdot g$ và $s(U)\cdot g'$ rời nhau, vì G tác động tự do trong E. Do đó ánh xạ $f: U\times G\rightarrow$ $\overset{-1}{p}(U)$ được xác định bởi $f(u, g) =s(u)\cdot g$ với $(u, g)\in U\times G$ là một đồng phôi từ $U\times G$ lên $\overset{-1}{p}(U)$ , tương thích với các tác động phải của G. Theo định nghĩa, do đó E là một phủ chính của B với nhóm G.

Ví dụ 1 01QM

Cho E là một không gian tôpô, G là một nhóm tôpô rời rạc tác động liên tục và tự do bên phải trong E. Để ánh xạ chính tắc $p: E\rightarrow E/G$ biến E thành một phủ chính của $E/G$ , điều kiện cần và đủ là nó étale (điều kiện (iii) của mệnh đề 4). Chẳng hạn, giả sử tồn tại một không gian tôpô X và một ánh xạ étale $q: E\rightarrow X$ tương thích với tác động của G trong E; khi đó E là một phủ chính của $E/G$ . Thật vậy, ký hiệu bởi $q': E/G\rightarrow X$ ánh xạ suy ra từ $q$ ; ta có $q=q'\circ p$ , do đó $p$ là étale theo mệnh đề 6, d) của I, p. 29.

Ví dụ 2 01QN

Cho $q: E\rightarrow$ X là một ánh xạ étale và tách biệt. Nhóm Aut $_X(E)$ , được trang bị tôpô rời rạc, tác động liên tục bên trái trong E. Nếu không gian E liên thông, thì tác động này là tự do (I, p. 34, hệ quả 2). Ký hiệu bởi G nhóm Aut $_X(E)^{\circ}$ và trang bị cho E tác động phải đối với tác động của Aut $_X(E)$ . Theo ví dụ trước, không gian E, được trang bị ánh xạ chính tắc $p: E\rightarrow E/G$ , là một phủ chính với nhóm G.

3. Các tác động thực sự và tự do của các nhóm rời rạc

Định lý 1 01QO

Cho G là một nhóm rời rạc tác động liên tục bên phải trong một không gian tôpô E. Giả sử rằng mọi điểm của E đều có một lân cận U sao cho $U\cap (U\cdot g) =\emptyset$ với mọi phần tử $g$ của G khác phần tử đơn vị. Khi đó ánh xạ chính tắc $p: E\rightarrow E/G$ biến E thành một phủ chính của $E/G$ với nhóm G.

Tác động của G trên E là tự do theo giả thiết, nên chỉ cần chứng minh rằng ánh xạ $p$ là étale (I, p. 98, ví dụ 1). Cho $x$ là một điểm của E và cho U là một lân cận mở của $x$ sao cho $U\cap U\cdot g=\emptyset$ với mọi phần tử $g$ của G phân biệt với phần tử đơn vị. Ánh xạ $p$ là mở (TG, III, p. 10, bổ đề 2) và cảm sinh một ánh xạ đơn ánh, liên tục và mở từ U lên $p(U)$ , do đó là một đồng phôi, điều này chứng tỏ rằng ánh xạ $p$ là étale.

Ví dụ 1 01QP

Cho $n$ là một số nguyên $\geqslant 0$ , cho $\mathbf{P}_n(\mathbf{R})$ là không gian xạ ảnh chiều $n$ (TG, VI, p. 13) và cho $\mathbf{S}_n$ là mặt cầu đơn vị của $\mathbf{R}^{n+1}$ (TG, VI, p. 9). Ánh xạ chính tắc từ $\mathbf{S}_n$ lên $\mathbf{P}_n(\mathbf{R})$ trang bị cho $\mathbf{S}_n$ một cấu trúc phủ chính của nhóm $\{1,-1\}$ , nhóm này tác động bằng các phép vị tự; các quỹ đạo là những cặp điểm đối xứng nhau qua tâm.

Ví dụ 2 01QQ

Mọi phủ bậc 2 đều có một cấu trúc duy nhất của phủ chính của nhóm $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ .

Ví dụ 3 01QR

Cho X là một đa tạp khả vi tách biệt, địa phương có số chiều hữu hạn trên $\mathbf{R}$ , và cho $\widetilde{X}$ là đa tạp các định hướng của bó tiếp xúc của X (VAR, R, 10.2.4). Không gian $\widetilde{X}$ , được trang bị phép chiếu chính tắc của nó lên X, là một phủ chính của X với nhóm $\{1,-1\}$ .

Hệ quả 1 01QS

Cho G là một nhóm tôpô rời rạc tác động liên tục bên phải trên một không gian tôpô E. Các điều kiện sau là tương đương:

(i) Nhóm G tác động đúng và tự do trên E;

(ii) Không gian $E/G$ là tách biệt và không gian E là một phủ chính có cơ sở $E/G$ và nhóm G.

Hơn nữa, dưới các điều kiện ấy, không gian E là tách biệt.

Giả sử điều kiện (i) được thỏa mãn. Khi đó các không gian E và $E/G$ là tách biệt (TG, III, p. 29, prop. 3) và với mọi $x\in E$ tồn tại một lân cận mở U của $x$ trong E sao cho $U\cap (U\cdot g) =\emptyset$ với mọi phần tử $g$ của G khác phần tử đơn vị (TG, III, p. 32, prop. 8). Theo Định lý 1, khi đó điều kiện (ii) được thỏa mãn.

Suy ra (ii) $\Rightarrow$ (i) theo hệ quả 1 của I, p. 96.

Hệ quả 2 01QT

Cho G là một nhóm tôpô và cho H là một nhóm con rời rạc của G. Cho H tác động trên G bằng các phép tịnh tiến phải. Khi đó ánh xạ chính tắc từ G vào không gian $G/H$ các lớp trái modulo H trang bị cho G một cấu trúc phủ chính của $G/H$ với nhóm H.

Cho V là một lân cận của phần tử đơn vị $e$ của G sao cho $H\cap V =\{e\}$ . Tồn tại một lân cận mở U của $e$ trong G sao cho $U^{-1}\cdot U\subset V$ (TG, III, p. 3) và do đó $U\cap U\cdot h=\emptyset$ với mọi $h\in H,h=\not e$ . Hệ quả 2 của I, p. 100 bởi vậy suy ra từ định lý 1.

Ví dụ 4 01QU

Được trang bị ánh xạ chính tắc từ $\mathbf{R}$ lên $\mathbf{T}=\mathbf{R}/\mathbf{Z}$ (TG, V, p. $2$ ) $,\mathbf{R}$ là một phủ chính của $\mathbf{R}/\mathbf{Z}$ với nhóm $\mathbf{Z}$ .

Nhận xét 1 01QV

Cho G là một nhóm tôpô tách biệt, K là một nhóm con compắc của G và H là một nhóm con rời rạc của G. Nhóm G tác động liên tục và đúng bên phải trên không gian $K\backslash G$ các lớp phải modulo K (TG, III, p. 30, hệ quả). Vì nhóm H là đóng trong G, nó cũng tác động đúng trên $K\backslash G$ (TG, III, p. 27, ví dụ 1). Hơn nữa, nếu có $H\cap gKg^{-1}=\{e\}$ với mọi $g\in G$ , thì nhóm H tác động tự do trên $K\backslash G$ . Khi đó không gian $K\backslash G$ là một phủ chính của nhóm H của $K\backslash G/H$ theo hệ quả 1.

Hệ quả 3 01QW

Cho G và $G'$ là các nhóm tôpô, và cho $\varphi : G\rightarrow G'$ là một đồng cấu liên tục, mở và toàn ánh. Giả sử hạt nhân H của $\varphi$ là rời rạc. Khi đó, đối với tác động của H trên G bằng các phép tịnh tiến phải, $\varphi$ trang bị cho G một cấu trúc phủ chính của $G'$ với nhóm H.

Nếu hơn nữa nhóm G là liên thông, thì H được chứa trong tâm của G.

Đồng cấu $\varphi$ cảm sinh một đẳng cấu nhóm tôpô từ $G/H$ lên $G'$ (TG, III, p. 16, prop. 24), do đó có mệnh đề thứ nhất theo Hệ quả 2. Giả sử nhóm G liên thông. Với mọi $h\in H$ , ánh xạ liên tục từ G vào H được xác định bởi $g\mapsto ghg^{-1}$ là hằng, với giá trị $h$ . Vậy nhóm H được chứa trong tâm của G.

Nhận xét 2 01QX

Cho G và $G'$ là các nhóm tôpô và cho $\varphi : G\rightarrow G'$ là một đồng cấu liên tục, mở. Nếu nhóm $G'$ liên thông, thì đồng cấu $\varphi$ là toàn ánh. Thật vậy, $\varphi (G)$ là một nhóm con mở, do đó đóng, của $G'$ , và vì thế bằng $G'$ .

Nhận xét 3 01QY

Cho G là một nhóm địa phương compact, đếm được ở vô cùng, và cho $G'$ là một nhóm tôpô tách được mà không gian nền là một không gian Baire. Mọi đồng cấu liên tục toàn ánh từ G vào $G'$ đều là mở (TG, IX, p. 56, hệ quả and TG, III, p. 16, mệnh đề 24).

Ví dụ 5 01QZ

Với mọi số nguyên $n >$ 0, ký hiệu bởi $\mu_n$ nhóm các căn bậc $n$ của đơn vị trong $\mathbf{C}$ (A, V, p. 75). Ánh xạ $z\mapsto z^n$ trang bị cho $\mathbf{C}^*$ một phủ chính của $\mathbf{C}^*$ với nhóm $\mu_n$ , nhóm này tác động trên $\mathbf{C}^*$ bằng phép nhân.

Ví dụ 6 01R0

Được trang bị ánh xạ $z\mapsto e^{2\pi iz}$ (TG, VIII, p. 8, nhận xét), không gian $\mathbf{C}$ là một phủ chính của $\mathbf{C}^*$ với nhóm $\mathbf{Z}$ . Ánh xạ $x\mapsto e^{2\pi ix}=\mathbf{e}(x)$ từ $\mathbf{R}$ lên $\mathbf{S}_1$ trang bị cho $\mathbf{R}$ một phủ chính của $\mathbf{S}_1$ với nhóm $\mathbf{Z}$ .

4. Các phủ Galois

Định nghĩa 3 01R1

Cho B là một không gian tôpô khác rỗng. Một phủ E của B được gọi là Galois nếu nó liên thông và nếu, với mọi điểm $b$ của B, phép toán của nhóm Aut $_B(E)$ các B-tự đẳng cấu của E trên thớ $E_b$ là bắc cầu.

Cho E là một phủ Galois của một không gian tôpô B và cho $p$ là phép chiếu của nó. Ánh xạ $p$ là toàn ánh (A, I, p. 56, def. 6); do đó không gian B liên thông. Hệ quả là, phủ $(E, p)$ có bậc khác không.

Mệnh đề 5 01R2

Cho B là một không gian tôpô khác rỗng và cho E là một phủ Galois của B. Ánh xạ $(h, x)\mapsto h(x)$ từ Aut $_B(E)\times E$ vào E là một luật phép toán phải của nhóm Aut $_B(E)^{\circ}$ trên E, luật này trang bị cho E một phủ chính với nhóm Aut $_B(E)^{\circ}$ .

Ta trang bị cho nhóm Aut $_B(E)^{\circ}$ tôpô rời rạc; khi đó luật phép toán $(h, x)\mapsto h(x)$ là liên tục. Phép toán này là tự do (I, p. 34, hệ quả 2 of mệnh đề 11). Vì E là một phủ Galois của B, các thớ của nó là các quỹ đạo của phép toán này. Theo mệnh đề 4 of I, p. 97, E là một phủ chính với nhóm Aut $_B(E)^{\circ}$ .

Định lý 2 01R3

Cho B là một không gian tôpô liên thông, cho E là một phủ của B, liên thông và khác rỗng. Các tính chất sau là tương đương:

(i) Phủ E là Galois;

(ii) Tồn tại một nhóm tôpô rời rạc G và một phép toán phải liên tục của G trên E trang bị cho E một phủ chính với nhóm G;

(iii) Phủ $E\times_BE$ của E được xác định bởi phép chiếu pr $_1$ là khả tầm thường.

Khi các điều kiện này được thỏa mãn, ánh xạ chính tắc $G\rightarrow$ Aut $_B(E)^{\circ}$ được xác định bởi phép toán của G là một đẳng cấu nhóm.

Hơn nữa, nếu không gian B địa phương liên thông, thì các tính chất trên tương đương với tính chất sau:

(i $'$ ) Tồn tại một điểm $b$ của B sao cho phép toán của nhóm Aut $_B(E)$ trên thớ $E_b$ là bắc cầu.

Hàm ý (i) $\Rightarrow$ (ii) suy ra từ mệnh đề 5 và hàm ý (ii) $\Rightarrow$ (iii) từ nhận xét 1 của I, p. 95. Hãy chứng minh (iii) $\Rightarrow$ (i). Ký hiệu $p: E\rightarrow B$ là phép chiếu của phủ E. Vì B liên thông, phủ này có một bậc, và bậc này không bằng không vì E không rỗng. Cho $b$ là một điểm của B. Hãy chứng minh rằng phép toán của Aut $_B(E)$ trên thớ $E_b$ là bắc cầu. Theo trên, thớ này không rỗng. Cho $x$ và $x'$ là các điểm của $E_b$ . Các B-cấu xạ $h: E\rightarrow E$ sao cho $h(x) =x'$ tương ứng song ánh với các tiết diện liên tục $s$ của ánh xạ pr $_1: E\times_BE\rightarrow E$ sao cho $s(x) = (x, x')$ (I, p. 9, mệnh đề 3). Theo giả thiết (iii), một tiết diện như thế tồn tại (I, p. 70, hệ quả 2) và là duy nhất (I, p. 34, hệ quả 1 của mệnh đề 11) vì không gian E liên thông. Vậy, với mọi cặp $(x, x')\in E\times_BE$ , tồn tại duy nhất một B-cấu xạ $h: E\rightarrow E$ sao cho $h(x) =x'$ . Nếu $h': E\rightarrow E$ là B-cấu xạ duy nhất sao cho $h'(x') =x$ , ta có $h'(h(x)) =x$ và $h(h'(x')) =x'$ , do đó $h'\circ h=$ Id $_E$ và $h\circ h'=$ Id $_{E'}$ . Điều này chứng minh rằng $h$ là một B-tự đẳng cấu của E. Vì thế phủ E là Galois.

Ta đã chứng minh rằng các điều kiện (i), (ii), (iii) là tương đương. Giả sử chúng được thỏa mãn. Cho $\delta : G\rightarrow$ Aut $_B(E)$ là ánh xạ gán cho $g\in G$ B-tự đẳng cấu $x\mapsto x\cdot g$ của E. Ánh xạ $\delta$ là một đồng cấu nhóm từ G vào Aut $_B(E)^{\circ}$ . Vì G tác động tự do trên E, ánh xạ $\delta$ là đơn ánh. Cho $h\in$ Aut $_B(E)$ , cho $x\in$ E và cho $g$ là phần tử duy nhất của G sao cho $x\cdot g=h(x)$ . Hai B-cấu xạ $h$ và $\delta (g)$ trùng nhau tại $x$ , nên trùng nhau ở mọi nơi, vì không gian E liên thông (I, p. 34, hệ quả 1 của mệnh đề 11), điều này chứng minh rằng $\delta$ là một đẳng cấu.

Bây giờ giả sử không gian B địa phương liên thông và hãy chứng minh, theo giả thiết (i $'$ ), rằng phủ E là Galois. Cho $E'$ là không gian thương của E theo phép toán phải của Aut $_B(E)^{\circ}$ và ký hiệu $q: E\rightarrow E'$ là ánh xạ chính tắc. Nó biến E thành một phủ toàn ánh của $E'($ I, p. 98, ví dụ 2); ánh xạ $p: E\rightarrow B$ xác định bằng cách chuyển qua thương một ánh xạ liên tục $p': E'\rightarrow B$ sao cho $p'\circ q=p$ . Vì không gian B địa phương liên thông, B-không gian $(E', p')$ là một phủ (I, p. 81, mệnh đề 7). Theo giả thiết (i $'$ ), tồn tại một điểm $b$ của B sao cho thớ $E'_b$ có đúng một phần tử; vì không gian B liên thông, khi đó điều tương tự cũng đúng với mọi điểm $b$ của B (I, p. 74, mệnh đề 4), điều này chứng minh rằng E là một phủ Galois của B.

Mệnh đề 6 01R4

Cho B là một không gian tôpô và G là một nhóm. Cho $(E, p)$ là một phủ chính của B với nhóm G. Giả sử không gian B liên thông và địa phương liên thông. Cho $E_0$ là một thành phần liên thông của E và cho $G_0$ là nhóm con ổn định của G của $E_0$ (A, I, p. 51). B-không gian $(E_0, p|E_0)$ là một phủ chính đối với phép toán phải của $G_0$ trên $E_0$ . Phủ này là Galois.

Vì không gian B địa phương liên thông nên E cũng vậy, do đó $E_0$ là một không gian con mở của E (TG, I, p. 85, mệnh đề 11). Vì nó cũng đóng (TG, I, p. 83), nên không gian $E_0$ do đó là một phủ của B (I, p. 80, hệ quả 1). Vì B liên thông, phủ này có một bậc; vì $E_0$ không rỗng, nên mọi thớ của $p|E_0$ do đó đều không rỗng. Cho $x$ là một điểm của $E_0$ , cho $x'\in E_0$ sao cho $p(x') =p(x)$ ; tồn tại một phần tử $g\in G$ sao cho $x\cdot g=x'$ . Vì khi đó các thành phần liên thông $E_0$ và $E_0\cdot g$ có một điểm chung, chúng bằng nhau, do đó $g\in G_0$ . Như vậy, nhóm $G_0$ tác động bắc cầu trên thớ của B-không gian $E_0$ tại $p(x)$ . Suy ra Mệnh đề 6.

Nhận xét 01R5

Nếu, trong mệnh đề 6, người ta không giả sử không gian B địa phương liên thông, thì có thể xảy ra trường hợp không gian $E_0$ không phải là một phủ của B (I, p. 147, bài tập 1).

5. Các không gian thớ liên kết

Cho E và F là các tập hợp và cho G là một nhóm tác động ở bên phải trên E và ở bên trái trên F. Nhóm G tác động ở bên phải trên tích $E\times F$ theo luật $(x, y)\cdot g= (x\cdot g, g^{-1}\cdot y)$ , với $g\in G$ , $(x, y)\in E\times F$ . Tập thương của $E\times F$ theo phép toán này được ký hiệu là $E\times^GF$ .

Khi E và F là các không gian tôpô, tập hợp $E\times^GF$ được trang bị tôpô thương của tôpô trên $E\times F$ . Ánh xạ chính tắc từ $E\times F$ lên $E\times^GF$ là liên tục. Nếu nhóm G tác động liên tục trên E và F, thì nó là mở.

Hơn nữa, cho $F'$ là một tập hợp mà trên đó G tác động ở bên trái và cho $h: F\rightarrow F'$ là một ánh xạ tương thích với các phép toán của G trên F và $F'$ (A, I, p. 50). Ánh xạ Id $_E\times h: E\times F\rightarrow E\times F'$ tương thích với các phép toán của G và xác định, bằng cách chuyển qua các tập thương, một ánh xạ được ký hiệu là Id $_E\times^Gh$ từ $E\times^GF$ vào $E\times^GF'$ .

Nếu $h: F\rightarrow F'$ là một ánh xạ liên tục (tương thích với các phép toán của G trên F và $F'$ ), thì ánh xạ Id $_E\times^Gh$ là liên tục (TG, I, p. 21, mệnh đề 6).

Ví dụ 1 01R6

Cho F là một không gian tôpô và cho G là một nhóm tôpô tác động liên tục ở bên trái trên F. Nếu không gian tôpô G được trang bị phép toán của G bởi các phép tịnh tiến phải, thì không gian $G\times^GF$ được đồng nhất một cách chính tắc với F theo cách sau. Các ánh xạ liên tục $\varphi : F\rightarrow G\times F$ và $\psi : G\times F\rightarrow$ F được định nghĩa bởi $\varphi (f) = (e, f)$ (trong đó $e$ ký hiệu phần tử đơn vị của G) và $\psi (g, f) =g\cdot f$ cảm sinh các ánh xạ liên tục $\overline{\varphi}: F\rightarrow G\times^GF$ và $\overline{\psi}: G\times^GF\rightarrow F$ nghịch đảo của nhau.

Ví dụ 2 01R7

Ví dụ 1 được tổng quát hóa như sau. Cho B và F là các không gian tôpô và cho G là một nhóm tôpô tác động liên tục ở bên trái trên F. Bằng cách chuyển qua các tập thương, ánh xạ từ $B\times F$ vào $(B\times G)\times F$ cho bởi $(b, f)\mapsto ((b, e), f)$ và ánh xạ từ $(B\times G)\times F$ vào $B\times F$ cho bởi $((b, g), f)\mapsto (b, gf)$ xác định các B-đẳng cấu nghịch đảo $B\times F\rightarrow (B\times G)\times^GF$ và $(B\times G)\times^GF\rightarrow B\times F$ .

Ví dụ 3 01R8

Tương tự, cho E là một không gian tôpô và cho G là một nhóm tôpô tác động liên tục bên phải trên E. Nếu không gian tôpô G được trang bị phép toán của G bởi các phép tịnh tiến trái, thì không gian $E\times^GG$ được đồng nhất với E.

Cho E và F là các không gian tôpô và cho G là một nhóm tôpô tác động liên tục bên phải trên E và bên trái trên F. Cho B là một không gian tôpô và cho $p: E\rightarrow B$ là một ánh xạ liên tục sao cho $p(x\cdot g) =p(x)$ với $x\in E$ và $g\in G$ . Ánh xạ $p\circ$ pr $_1: E\times F\rightarrow B$ xác định, bằng cách chuyển qua thương, một ánh xạ liên tục $p^F: E\times^GF\rightarrow B$ và ánh xạ chính tắc $\pi : E\times F\rightarrow E\times^GF$ là một B-cấu xạ.

Cho $B'$ là một không gian tôpô và cho $h: B'\rightarrow B$ là một ánh xạ liên tục. Nhóm G tác động liên tục bên phải trên $B'\times_BE$ theo luật phép toán $((b', x), g)\mapsto (b', x\cdot g)$ . Bằng cách hợp thành đẳng cấu chính tắc $((b', x), y)\mapsto (b',(x, y))$ từ $(B'\times_BE)\times F$ lên $B'\times_B(E\times F)$ và ánh xạ Id $_{B'}\times \pi$ từ $B'\times_B(E\times F)$ vào $B'\times_B(E\times^GF)$ , ta thu được một ánh xạ liên tục $\lambda_0: (B'\times_BE)\times F\rightarrow B'\times_B(E\times^GF)$ . Nó xác định, bằng cách chuyển qua thương, một ánh xạ liên tục

\lambda : (B'\times_BE)\times^GF\rightarrow B'\times_B(E\times^GF)

Bổ đề 01R9

Ánh xạ $\lambda$ là một đồng phôi.

Ánh xạ $\lambda_0$ là toàn ánh và hai phần tử của $(B'\times_BE)\times F$ có cùng ảnh dưới $\lambda_0$ khi và chỉ khi chúng thuộc cùng một quỹ đạo đối với tác động của G trong $(B'\times_BE)\times F$ . Suy ra ánh xạ $\lambda$ là song ánh. Vì ánh xạ $\pi$ là mở, nên ánh xạ Id $_{B'}\times_B\pi ($ I, p. 17, mệnh đề 8) cũng vậy, do đó $\lambda_0$ và $\lambda$ cũng vậy (TG, I, p. 32, mệnh đề 3), điều này chứng minh rằng $\lambda$ là một đồng phôi.

Mệnh đề 7 01RA

Cho B là một không gian tôpô, cho G là một nhóm tôpô, cho $(E, p)$ là một không gian thớ chính trên B với nhóm G và cho F là một không gian tôpô mà trong đó nhóm G tác động liên tục bên trái.

a) Không gian tôpô $E\times^GF$ được trang bị ánh xạ liên tục $p^F: E\times^GF\rightarrow B$ suy ra từ ánh xạ $p\circ$ pr $_1: E\times F\rightarrow B$ bằng cách chuyển qua thương là một không gian thớ địa phương tầm thường trên B, kiểu thớ F; nó khả tầm thường nếu không gian thớ trên B E là khả tầm thường.

b) Cho $\pi : E\times F\rightarrow E\times^GF$ là toàn cấu chính tắc. Ánh xạ $\mu: E\times F\rightarrow E\times_B(E\times^GF)$ gán cho $(x, f)$ phần tử $(x, \pi (x, f))$ là một đồng phôi mà ánh xạ nghịch đảo của nó là một sự tầm thường hóa của không gian thớ địa phương tầm thường trên E $(E\times_B(E\times^GF)$ , pr $_1)$ .

Trước hết giả sử E là không gian thớ chính tầm thường trên B $B\times G$ . Theo ví dụ 2, khi đó không gian $E\times^GF$ được đồng nhất với $B\times F$ và ánh xạ $p^F$ được đồng nhất với phép chiếu thứ nhất pr $_1: B\times F\rightarrow B$ , điều này chứng minh rằng $(E\times^GF, p^F)$ là một không gian thớ khả tầm thường trên B trong trường hợp này. Trong trường hợp tổng quát, mọi điểm của B đều có một lân cận U sao cho ánh xạ $p_U:\overset{-1}{p}(U)\rightarrow U$ biến $\overset{-1}{p}(U)$ thành một không gian thớ chính khả tầm thường trên U. Theo điều đi trước, $(\overset{-1}{p}(U)\times^GF\rightarrow U,(p_U)^F)$ là một không gian thớ khả tầm thường trên U. Theo bổ đề trên, áp dụng cho trường hợp $B'= U$ và $h: U\rightarrow B$ là đơn ánh chính tắc, điều tương tự cũng

đúng đối với không gian thớ trên U ( $(p^{-F1})(U),(p^F)_U$ ) suy ra từ $(E\times^GF, p^F)$ bằng cách hạn chế lên trên U. Điều này chứng minh rằng $(E\times^GF, p^F)$ là một không gian thớ địa phương tầm thường trên B và kết thúc chứng minh mệnh đề a).

Ánh xạ $\theta : E\times G\rightarrow E\times_BE$ được định nghĩa bởi $\theta (x, g) = (x, x\cdot g)$ là một đồng phôi (I, p. 94, mệnh đề 3) tương thích với các phép toán của G trên $E\times G$ và trên $E\times_BE$ lần lượt được cho bởi $((x, g), g')\mapsto (x, gg')$ và $((x, y), g')\mapsto (x, yg')$ . Chuyển qua các thương, do đó $\theta$ cảm sinh một đồng phôi $\theta '$ từ $(E\times G)\times^GF$ lên $(E\times_B$ $E)\times^GF$ . Ánh xạ $\mu$ là hợp thành của đồng phôi $E\times F\rightarrow$ $(E\times G)\times^GF$ (ví dụ 2), của $\theta '$ , và của đồng phôi chính tắc $(E\times_BE)\times^GF\rightarrow E\times_B(E\times^GF)$ (I, p. 105, bổ đề), do đó b).

Dưới các giả thiết của mệnh đề 7, B-không gian sợi địa phương tầm thường ( $E\times^GF, p^F$ ) được gọi là không gian sợi địa phương tầm thường kiểu sợi F liên kết với không gian sợi chính $(E, p)$ . Mọi sợi của B-không gian $E\times^GF$ đều đồng phôi với không gian F. Đặc biệt, nếu không gian F là rời rạc, ánh xạ $p^F$ là một phủ.

Ví dụ 4 01RB

Cho B là một không gian tôpô, G là một nhóm tôpô, và $(E, p)$ là một B-không gian sợi chính với nhóm G. Cho H là một nhóm con của G.

Ký hiệu bởi $\varphi : E\rightarrow E\times (G/H)$ và $\psi : E\times (G/H)\rightarrow E/H$ các ánh xạ được định nghĩa bởi $\varphi (x) = (x,H)$ và $\psi (x, gH) = (x\cdot g)H$ . Chúng tương thích với các phép chiếu lên B và với các phép toán của G, và xác định, khi chuyển qua các thương, các cấu xạ của các B-không gian $\overline{\varphi}: E/H\rightarrow E\times^G(G/H)$ và $\overline{\psi}: E\times^G(G/H)\rightarrow E/H$ , nghịch đảo của nhau. Ta nói rằng $\overline{\varphi}$ là đồng phôi chính tắc từ $E/H$ lên $E\times^G(G/H)$ . Đặc biệt, không gian tôpô $E/H$ được trang bị ánh xạ liên tục $p_H: E/H\rightarrow B$ là một B-không gian sợi địa phương tầm thường kiểu sợi $G/H$ .

Hơn nữa, nếu H là một nhóm con chuẩn tắc của G, tác động của G trang bị cho B-không gian $E/H$ , khi chuyển qua các thương, một cấu trúc không gian sợi chính với nhóm $G/H$ .

Đặc biệt, nếu E là một phủ chính của B với nhóm G, thì $E/H$ là một phủ của B; nếu H là chuẩn tắc trong G, thì nó là một phủ chính với nhóm $G/H$ .

Ví dụ 5 01RC

Cho B là một không gian tôpô, cho G là một nhóm tôpô, và cho E là một B-không gian sợi chính với nhóm G. Cho F là một không gian thuần nhất tôpô đối với G (TG, III, p. 12). Cho $y$ là một điểm của F và cho $G_y$ là nhóm ổn định của nó. Ánh xạ $\varphi_y:x\mapsto (x, y)$ từ E vào $E\times F$ xác định, khi chuyển qua các thương, một đồng phôi $\overline{\varphi}_y$ từ $E/G_y$ lên $E\times^GF$ . Khi nhóm G là Abel, nhóm con $G_y$ không phụ thuộc vào điểm $y$ , nhưng đồng phôi $\overline{\varphi}_y$ , nói chung, lại phụ thuộc vào nó.

Ví dụ 6 01RD

Cho B là một không gian tôpô, cho G là một nhóm tôpô, cho $(E, p)$ là một B-không gian sợi chính với nhóm G. Cho H là một nhóm tôpô và cho $f: G\rightarrow H$ là một cấu xạ của các nhóm tôpô; hãy trang bị cho H phép toán trái của G được cho bởi $g\cdot h=f(g)h$ .

Cho $q: E\times H\rightarrow E\times^GH$ là ánh xạ chính tắc; nó là mở, do đó ngặt phổ dụng (I, p. 20, hệ quả 11). Ánh xạ $m: (x, h, h')\mapsto q(x, hh')$ từ $E\times H\times H$ vào $E\times^GH$ là liên tục. Cho $(x, h)\in E\times H,h'\in H$ và $g\in G$ ; ta có $m(xg, f(g)^{-1}h, h') =$ $q(xg, f(g)^{-1}hh') =q(x, hh') =m(x, h, h')$ . Do đó, tồn tại một ánh xạ duy nhất

m': (E\times^GH)\times H\rightarrow E\times^GH

sao cho $m'(q(x, h), h') =q(x, h, h')$ với mọi $x\in E$ và mọi $h, h'\in H$ . Vì $q$ là ngặt phổ dụng, ánh xạ $m'$ là liên tục. Đây là một tác động phải của nhóm tôpô H trên B-không gian $E\times^GH$ .

Cho U là một tập con mở của B sao cho $E_U$ đẳng cấu với bó sợi chính trên U, $U\times G$ . Được trang bị tác động của H, U-không gian $(E\times^GH)_U$ được đồng nhất với bó sợi chính $U\times H$ . Điều này chứng minh rằng $E\times^GH$ là một bó sợi chính trên B với nhóm H.

Định nghĩa 4 01RE

Cho B là một không gian tôpô và G là một nhóm tôpô. Một không gian sợi địa phương tầm thường X trên B được gọi là liên kết với một bó sợi chính E trên B với nhóm G nếu tồn tại một không gian tôpô F mà trên đó nhóm G tác động liên tục bên trái và một B-đẳng cấu từ $E\times^GF$ lên X.

Cho E là một bó sợi chính trên B với nhóm G và X là một không gian sợi địa phương tầm thường trên B liên kết với E. Nếu bó sợi chính E tầm thường hóa được thì X tầm thường hóa được (Mệnh đề 7). Nếu $B'$ là một không gian tôpô và $h: B'\rightarrow B$ là một ánh xạ liên tục, thì không gian sợi địa phương tầm thường trên $B'$ , $B'\times_BX$ , suy ra từ X bằng thay đổi cơ sở, liên kết với bó sợi chính trên $B'$ , $B'\times_BE$ (I, p. 105, bổ đề).

6. Các phủ liên kết

Cho B là một không gian tôpô, G là một nhóm tôpô rời rạc và E là một phủ chính của B với nhóm G. Cho F là một G-tập hợp; nếu F được trang bị tôpô rời rạc thì nhóm G tác động liên tục trên F. Khi đó B-không gian $E\times^GF$ là một phủ. Nó được gọi là phủ của B với kiểu sợi F liên kết với phủ chính E.

Định nghĩa 5 01RF

Cho B là một không gian tôpô, G là một nhóm tôpô rời rạc và E là một phủ chính của B với nhóm G. Một phủ X của B được gọi là liên kết với phủ chính E nếu tồn tại một G-tập hợp F và một B-đẳng cấu từ $E\times^GF$ lên X.

Cho B là một không gian tôpô, G là một nhóm tôpô rời rạc và E là một phủ của B, chính với nhóm G.

Với mọi phủ X của B, nhóm G tác động bên trái trên $\mathscr{C}_B(E; X)$ theo luật được định nghĩa bởi $(g\cdot h)(x) =h(x\cdot g)$ với $x\in E$ , $g\in G,h\in \mathscr{C}_B(E; X)$ .

Với mọi G-tập hợp F được trang bị tôpô rời rạc, ta định nghĩa một ánh xạ $\alpha_F: F\rightarrow \mathscr{C}_B(E; E\times^GF)$ bởi:

(2) $\alpha_F(y)(x) =\pi (x, y)$ với $y\in F$ và $x\in E$ ,

trong đó $\pi : E\times F\rightarrow E\times^GF$ là toàn cấu chính tắc. Ánh xạ $\alpha_F$ tương thích với các tác động của G trên F và trên $\mathscr{C}_B(E; E\times^GF)$ .

Với mọi phủ X của B, tồn tại một ánh xạ duy nhất $\beta_X$ từ $E\times^G\mathscr{C}_B(E; X)$ vào X sao cho:

(3) $\beta_X(\pi (x, h)) =h(x)$ với $h\in \mathscr{C}_B(E; X)$ và $x\in E$ .

Thật vậy, ta có $(g^{-1}\cdot h)(x\cdot g) =h(x)$ với $x\in E,g\in G$ và $h\in \mathscr{C}_B(E; X)$ , theo định nghĩa của tác động của G trên $\mathscr{C}_B(E; X)$ . Khi tập hợp $\mathscr{C}_B(E; X)$ được trang bị tôpô rời rạc, ánh xạ $\beta_X$ là một B-cấu xạ của các phủ.

Khi $X = E\times^GF$ , ta có

(4) $\beta_X(\pi (x, \alpha_F(y))) =\pi (x, y)$ với $x\in X$ và $y\in F$ .

Mệnh đề 8 01RG

Cho B là một không gian tôpô liên thông khác rỗng. Cho G là một nhóm rời rạc và $(E, p)$ là một phủ chính của B với nhóm G. Giả sử rằng E liên thông. Với ký hiệu ở trên, ta có:

a) Với mọi G-tập hợp F được trang bị tôpô rời rạc, ánh xạ $\alpha_F$ là một đẳng cấu của G-tập hợp F lên G-tập hợp $\mathscr{C}_B(E; E\times^GF)$ .

b) Cho X là một phủ của B. B-cấu xạ $\beta_X$ là một đẳng cấu từ $E\times^G\mathscr{C}_B(E; X)$ lên X khi và chỉ khi phủ $(E\times_BX$ , pr $_1)$ của E tầm thường hóa được.

a) Cho $y$ và $y'$ là các điểm của F sao cho $\alpha_F(y) =\alpha_F(y')$ . Không gian E không rỗng; hãy chọn một điểm $x$ trong đó. Ta có $\pi (x, y) =\pi (x, y')$ trong $E\times^GF$ . Do đó tồn tại $g\in G$ sao cho $x\cdot g=x$ và $g^{-1}\cdot y=y'$ . Đẳng thức thứ nhất suy ra rằng $g$ là phần tử đơn vị $e$ của G, nên $y=y'$ . Vậy ánh xạ $\alpha_F$ là đơn ánh. Mặt khác, cho $h\in$ $\mathscr{C}_B(E; E\times^GF)$ và cho $x$ là một điểm của E. Cho $x'\in E,y'\in F$ sao cho $h(x) =\pi (x', y')$ . Đặc biệt, $p(x) =p(x')$ ; khi đó tồn tại một phần tử $g$ của G sao cho $x'=x\cdot g$ , và ta cũng có $h(x) =\pi (x, y)$ , trong đó ta đặt $y=g\cdot y'$ . Các B-cấu xạ $h$ và $\alpha_F(y)$ trùng nhau tại điểm $x$ của E; do đó chúng bằng nhau vì không gian E là liên thông (I, p. 34, hệ quả 1 của mệnh đề 11), và điều này chứng minh rằng ánh xạ $\alpha_F$ là toàn ánh.

b) Theo mệnh đề 7, b) của I, p. 105 áp dụng cho $F =\mathscr{C}_B(E; X)$ , phủ $p^*(E\times^G\mathscr{C}_B(E; X))$ của E đẳng cấu với phủ tầm thường $E\times \mathscr{C}_B(E; X)$ . Nếu $\beta_X$ là một đẳng cấu, thì phủ $p^*(X)$ của E do đó là khả tầm thường hóa. Ngược lại, giả sử rằng phủ $p^*(X)$ là khả tầm thường hóa và hãy chứng minh rằng B-cấu xạ $\beta_X$ là song ánh; khi đó sẽ suy ra rằng $\beta_X$ là một B-đẳng cấu (I, p. 30, hệ quả 2 của mệnh đề 6).

Ánh xạ $\beta_X$ được suy ra bằng cách chuyển qua thương từ ánh xạ $\gamma : E\times \mathscr{C}_B(E; X)\rightarrow X$ được xác định bởi $\gamma (x, h) =h(x)$ . Hãy chứng minh rằng ánh xạ $\gamma$ là toàn ánh. Cho $x$ là một điểm của X. Phép chiếu của B-không gian E là toàn ánh, vì nó là một phủ chính; do đó tồn tại một điểm $y$ của E sao cho $(y, x)\in E\times_BX$ . Khi đó tồn tại một tiết diện liên tục $s$ của phủ khả tầm thường hóa pr $_1: E\times_BX\rightarrow E$ sao cho $s(y) = (y, x)$ . Ánh xạ $h=$ pr $_2\circ s: E\rightarrow X$ là một B-cấu xạ, và ta có $h(y) =x$ , do đó suy ra tính toàn ánh của ánh xạ $\gamma$ và, do đó, của ánh xạ $\beta_X$ .

Sau hết, hãy chứng minh rằng $\beta_X$ là đơn ánh. Cho $(x, h)$ và $(x', h')$ là các phần tử của $E\times \mathscr{C}_B(E; X)$ sao cho $h(x) =h'(x')$ . Hãy nhận xét rằng $x$ và $x'$ có cùng phép chiếu trong B; do đó tồn tại một phần tử $g$ của G sao cho $x'=x\cdot g$ . Khi đó ta có $h(x) =h'(x\cdot g) = (g\cdot h')(x)$ . Vì không gian E là liên thông, ta có $h=g\cdot h'($ I, p. 34, hệ quả 1 của mệnh đề 11). Vậy $(x, h)$ và $(x', h')$ có cùng lớp trong $E\times^G\mathscr{C}_B(E; X)$ , điều này chứng minh rằng ánh xạ $\beta_X$ là đơn ánh, và hoàn tất chứng minh.

Hệ quả 1 01RH

Cho $(E, p)$ là một phủ chính của B với nhóm G; giả sử rằng E liên thông và khác rỗng. Một phủ X của B liên kết được với E khi và chỉ khi phủ $p^*(X)$ là khả tầm thường hóa.

Nếu phủ $p^*(X)$ là khả tầm thường hóa, thì theo mệnh đề 8, b), suy ra phủ X liên kết được với E. Trong trường hợp này, ánh xạ $\beta_X$ đồng nhất phủ X với phủ kiểu sợi $\mathscr{C}_B(E; X)$ liên kết với E. Ngược lại, cho F là một G-tập hợp được trang bị tôpô rời rạc và giả sử rằng ta có $X = E\times^GF$ . Khi đó $\alpha_F$ là một đẳng cấu (loc. cit., a)) và công thức (4) kéo theo rằng $\beta_X$ là một đẳng cấu. Do đó, phủ $p^*(X)$ là khả tầm thường hóa (mệnh đề 8, b)), do đó có hệ quả.

Hệ quả 2 01RI

Cho B là một không gian tôpô liên thông và địa phương liên thông, cho $(E, p)$ là một phủ chính của B với nhóm G. Cho $E_0$ là một thành phần liên thông của E và cho $G_0$ là nhóm con của G là nhóm ổn định của $E_0$ . B-không gian $(E_0, p|E_0)$ là một phủ chính với nhóm $G_0($ I, p. 103, mệnh đề 6).

Mọi phủ X của B liên kết được với phủ chính E đều liên kết được với phủ chính $E_0$ . Đặc biệt, phủ E liên kết được với phủ chính $E_0$ .

Thật vậy, nếu phủ X liên kết được với E, thì phủ $p^*(X)$ là khả tầm thường hóa và vì thế phủ $p^*_0(X)$ được cảm sinh bởi $p^*(X)$ trên $E_0$ cũng là khả tầm thường hóa.

Chính xác hơn, hãy chú ý rằng ánh xạ $(x, g)\mapsto x\cdot g$ từ $E_0\times G$ vào E cảm sinh, khi chuyển qua thương, một B-đẳng cấu của các phủ chính từ $E_0\times^{G_0}G$ lên E.

Mệnh đề 9 01RJ

Cho B là một không gian tôpô, cho E là một phủ chính của B với nhóm G, liên thông và khác rỗng. Cho F là một G-tập hợp khác rỗng được trang bị tôpô rời rạc. Để không gian $E\times^GF$ liên thông, điều kiện cần và đủ là G tác động bắc cầu trên F.

Cho U là một tập con vừa mở vừa đóng của $E\times^GF$ . Nếu $\pi : E\times F\rightarrow$ $E\times^GF$ ký hiệu toàn cấu chính tắc, thì $\overset{-1}{\pi}(U)$ là một tập con vừa mở vừa đóng của $E\times F$ và ổn định dưới G. Vì E liên thông, tồn tại một tập con $F'\subset F$ , ổn định dưới G, sao cho $\overset{-1}{\pi}(U) = E\times F'$ , do đó $U =\pi (E\times F')$ . Cho $F'$ và $F''$ là các tập con của F ổn định dưới G sao cho $\pi (E\times F') =\pi (E\times F'')$ ; vì E khác rỗng, ta có $F'= F''$ . Ánh xạ $F'\mapsto \pi (E\times F')$ là một song ánh từ tập hợp các tập con của F ổn định dưới G lên tập hợp các tập con vừa mở vừa đóng của $E\times^GF$ . Mệnh đề được suy ra.

Mệnh đề 10 01RK

Cho B là một không gian tôpô, cho $(E, p)$ là một phủ chính của B với nhóm G và cho X là một phủ của B. Giả sử rằng E và X liên thông và khác rỗng. Các tính chất sau là tương đương:

(i) Phủ X liên kết được với phủ chính E;

(ii) Tồn tại một nhóm con H của G sao cho X là B-đẳng cấu với $E/H$ ;

(iii) Tồn tại một B-cấu xạ toàn ánh $h: E\rightarrow X$ ;

(iv) Với mọi điểm $(y, x)$ của $E\times_BX$ , tồn tại một B-cấu xạ $r: E\rightarrow X$ sao cho $r(y) =x$ .

Giả sử các điều kiện ấy được thỏa mãn và cho H là một nhóm con của G sao cho X đẳng cấu trên B với $E/H$ . Phủ X là Galois khi và chỉ khi nhóm con H là chuẩn tắc trong G.

(i) $\Rightarrow$ (ii) : Cho F là một G-tập rời rạc sao cho phủ $E\times^GF$ đẳng cấu trên B với X. Tập F khác rỗng và không gian $E\times^GF$ liên thông, nên nhóm G tác động bắc cầu trên F (mệnh đề 9). Khi đó không gian $E\times^GF$ đẳng cấu trên B với $E/H$ , trong đó H là nhóm con của G cố định một điểm của F (I, p. 106, ví dụ 4).

(ii) $\Rightarrow$ (iii) : Thật vậy, toàn cấu chính tắc của E lên $E/H$ là một B-cấu xạ toàn ánh.

(iii) $\Rightarrow$ (iv) : Cho $(y, x)$ là một điểm của $E\times_BX$ . Vì ánh xạ $h$ là toàn ánh, tồn tại một điểm $y'$ của E sao cho $h(y') =x$ . Các điểm $y$ và $y'$ có cùng phép chiếu trong B. Vì phủ E là chính với nhóm G, tồn tại $g\in G$ sao cho $y\cdot g=y'$ . Ánh xạ $r: E\rightarrow X$ được xác định bởi $z\mapsto h(z\cdot g)$ là một B-cấu xạ và ta có $r(y) =x$ .

(iv) $\Rightarrow$ (i) : Vì X không rỗng và phép chiếu của E lên B là toàn ánh, không gian $E\times_BX$ không rỗng. Do đó tồn tại một B-cấu xạ $r$ từ E vào X. Ánh xạ (Id $_E, r$ ) $: E\rightarrow E\times_BX$ là một tiết diện của phủ $p^*(X)$ của E. Vì không gian E liên thông, từ Hệ quả 2 của mệnh đề 1 trong I, p. 69 suy ra phủ $p^*(X)$ là khả tầm thường hóa, điều này chứng tỏ rằng phủ X kết hợp được với phủ Galois $p$ (mệnh đề 8).

Bây giờ giả sử các điều kiện ấy được thỏa mãn. Ta ký hiệu bởi X B-không gian $E/H$ , bởi $q$ phép chiếu của nó, và bởi $h: E\rightarrow E/H$ ánh xạ chính tắc.

Nếu nhóm H là chuẩn tắc trong G, thì X là một phủ chính với nhóm $G/H$ (I, p. 106, ví dụ 4). Vì X và B liên thông và khác rỗng, X là một phủ Galois của B (I, p. 102, định lý 2). Ngược lại, giả sử rằng $E/H$ là một phủ Galois của B và cho K = Aut $_B(E/H)^{\circ}$ . Ta xác định một ánh xạ $\alpha : E\times G\rightarrow K$ bằng cách gắn với $(t, g)\in E\times G$ phần tử duy nhất $k$ của K sao cho $h(t\cdot g) =h(t)\cdot k$ . Nó liên tục vì nó thu được bằng cách hợp thành ánh xạ liên tục $(t, g)\mapsto (h(t), h(t\cdot g))$ từ $E\times G$ vào $X\times_BX$ với sự tầm thường hóa chính tắc (I, p. 95, nhận xét 1) $X\times_BX\rightarrow X\times K$ của $q^*(X)$ . Vì E liên thông và K là một nhóm rời rạc, ánh xạ liên tục $t\mapsto \alpha (t, g)$ là hằng, với mọi $g\in G$ ; ta ký hiệu bởi $\alpha (g)$ giá trị của nó. Nếu $t\in E,g\in G$ và $g'\in H$ , khi đó ta có

h(t) =h(t\cdot g^{-1}g) =h(t\cdot g^{-1})\cdot \alpha (g) =h(t\cdot g^{-1}\cdot g')\cdot \alpha (g) =h(t\cdot (g^{-1}g'g))

Suy ra $g^{-1}g'g$ thuộc H và do đó H là chuẩn tắc trong G.

Hệ quả 01RL

Cho E là một phủ Galois của B và cho X là một phủ của B, liên thông và khác rỗng. Giả sử rằng X là một phủ hữu hạn hoặc không gian B địa phương liên thông. Nếu tồn tại một B-cấu xạ $h: E\rightarrow X$ , thì phủ X kết hợp được với phủ chính E.

Trong cả hai trường hợp, B-cấu xạ $h$ là một phủ (I, p. 77, Hệ quả 3 của định lý 1, và I, p. 78, mệnh đề 5), và một phủ khác rỗng của một không gian liên thông là toàn ánh (I, p. 68).

Định lý 3 01RM

Cho B là một không gian tôpô khác rỗng, liên thông và địa phương liên thông. Mọi phủ của B đều kết hợp được với một phủ Galois; mọi phủ hữu hạn của B đều kết hợp được với một phủ Galois hữu hạn.

Cho X là một phủ của B, và ký hiệu bởi $q$ phép chiếu của nó. Vì không gian B liên thông và khác rỗng, phủ X có một bậc; ký hiệu bậc này bởi F và trang bị cho tập hợp F tôpô rời rạc. Vì không gian B địa phương liên thông, bó $\mathscr{I}$ = $\mathscr{I}$ som $_B(B\times F; X)$ là hằng địa phương và tại mỗi điểm $b$ của B, stalk của nó $\mathscr{I}_b$ đẳng cấu chính tắc với tập hợp $\mathscr{B}(F; X_b)$ các song ánh từ F lên thớ $X_b($ I, p. 89, prop. 12). Cho $E = E_{\mathscr{I}}$ là phủ liên kết với bó hằng địa phương $\mathscr{I}($ I, p. 86, hệ quả).

Cho G là nhóm các hoán vị của F. Với mỗi $g\in G$ , người ta định nghĩa như sau một cấu xạ $\gamma '(g)$ của bó $\mathscr{I}$ vào chính nó: với mọi tập con mở U của B, ánh xạ $\gamma '(g)_U$ gán cho một U-đẳng cấu $\varphi : U\times F\rightarrow \overset{-1}{q}(U)$ U-đẳng cấu được xác định bởi $(b, f)\mapsto \varphi (b, g(f))$ với $b\in U$ và $f\in F$ . Ta có $\gamma '$ (Id $_F$ ) $=$ Id $_{\mathscr{I}}$ và $\gamma '(g\circ g') =\gamma '(g')\circ \gamma '(g)$ , với $g,g'\in G$ , nên với mọi $g\in G,\gamma '(g)$ là một tự đẳng cấu của bó $\mathscr{I}$ . B-cấu xạ $\gamma (g): E\rightarrow E$ liên kết với $\gamma '(g)$ là một tự đẳng cấu (I, p. 50). Nếu $x= [U, \varphi , b]$ là một phần tử của E, trong đó U là một tập con mở của B $,b$ là một điểm của U và $\varphi$ là một U-đẳng cấu của $U\times F$ lên $\overset{-1}{q}(U)$ , thì ta có $\gamma (g)(x) = [U, \psi , b]$ , trong đó $\psi$ được xác định bởi $\psi (a, f) =\varphi (a, g(f))$ , với $a\in$ U và $f\in$ F. Nếu $g$ và $g'$ là các phần tử của G, thì ta có $\gamma (g\circ g') =\gamma (g')\circ \gamma (g)$ . Ta có $\gamma$ (Id $_F$ ) $=$ Id $_E$ . Do đó người ta định nghĩa một luật phép toán phải liên tục của G trên E bằng cách đặt $x\cdot g=\gamma (g)(x)$ , với $x\in E$ và $g\in G$ . Nhóm G tác động đơn bắc cầu trên mỗi thớ của E, nên phủ E được trang bị phép toán này là một phủ chính với nhóm G (I, p. 97, mệnh đề 4). Cho $h$ là ánh xạ từ $E\times F$ vào X được xác định bởi $h([U, \varphi , b], f) =\varphi (b, f)$ với mọi tập con mở U của B, mọi điểm $b$ của U và mọi U-đẳng cấu $\varphi$ của $U\times F$ lên $\overset{-1}{q}(U)$ . Theo định nghĩa của tôpô của E, nó liên tục; nó là một B-cấu xạ. Với mọi phần tử $g$ của G và mọi điểm $(x, f)$ của $E\times F$ , ta có $h(x, g(f)) =h(x\cdot g, f)$ . Do đó ánh xạ $h$ xác định, bằng cách chuyển qua thương, một B-cấu xạ $h': E\times^GF\rightarrow X$ . Với mọi điểm $b$ của B, ánh xạ $h_b: E_b\times F\rightarrow X_b$ đồng nhất với ánh xạ $(\varphi , f)\mapsto \varphi (f)$ từ $\mathscr{B}(F; X_b)\times F$ vào $X_b$ , nên ánh xạ $h'_b$ là song ánh. Do đó, $h'$ là một B-đẳng cấu từ $E\times^GF$ lên X (I, p. 30, hệ quả 2 của mệnh đề 6).

Vì không gian B là liên thông, địa phương liên thông và khác rỗng, phủ X, liên kết với phủ chính E, được liên kết với một phủ Galois (I, p. 110, hệ quả 2). Nếu phủ X là hữu hạn, thì phủ E cũng vậy, do đó X được liên kết với một phủ Galois hữu hạn (loc. cit.).

7. Không Gian Thớ Chính Được Xác Định Bởi Các Cocycle

Định nghĩa 6 01RN

Cho B là một không gian tôpô, cho G là một nhóm tôpô, và cho $\mathscr{U}= (U_i)_{i\in I}$ là một phủ mở của B. Theo định nghĩa, một 1-đối chu tuyến tính liên tục trên B với giá trị trong G, phụ thuộc vào $\mathscr{U}$ , là dữ liệu, với mỗi cặp $(i, j)$ phần tử của I, của một ánh xạ liên tục $g_{i,j}$ từ $U_i\cap U_j$ vào G, sao cho với mọi bộ ba $(i, j, k)\in I\times I\times I$ và mọi điểm $b$ của $U_i\cap U_j\cap U_k$ , ta có

g_{i,k}(b) =g_{i,j}(b)g_{j,k}(b)

Ta ký hiệu bởi $Z^1_{cont}(B,\mathscr{U},G)$ tập hợp các 1-đối chu liên tục trên B với giá trị trong G, phụ thuộc vào phủ $\mathscr{U}$ .

Trong tiết diện này, ta sẽ nói đơn giản là đối chu thay cho 1-đối chu liên tục.

Cho $(E, p)$ là một không gian sợi chính trên B, nhóm G, và cho $\mathscr{U}$ = $(U_i)_{i\in I}$ là một phủ của B bởi các tập mở $U_i$ . Ta nói rằng E khả tầm thường hóa trên $\mathscr{U}$ nếu, với mọi $i\in I$ , E khả tầm thường hóa trên $U_i$ . Khi đó ta gọi một sự tầm thường hóa theo $\mathscr{U}$ của E là một họ $(f_i)_{i\in I}$ , trong đó $f_i:\overset{-1}{p}(U_i)\rightarrow U_i\times G$ là một sự tầm thường hóa của E trên $U_i$ .

Cho $\mathscr{U}= (U_i)_{i\in I}$ là một phủ của B bởi các tập mở, và cho $(E, p)$ là một không gian sợi chính trên B, nhóm G, được trang bị một sự tầm thường hóa theo $\mathscr{U}$ $(f_i)_{i\in I}$ . Với mỗi cặp $(i, j)\in I\times I$ , ta ký hiệu bởi $g_{ij}$ ánh xạ từ $U_i\cap U_j$ vào G được xác định bởi

(b, g_{ij}(b)) =f_i\circ f_j^{-1}(b, e)

trong đó $e$ ký hiệu phần tử đơn vị của G. Nó liên tục.

Vì $f_i$ và $f_j$ tương thích với các phép toán của G, ta có

(f_i\circ f_j^{-1})(b, g) = (b, g_{ij}(b)g)

với $b\in U_i\cap U_j$ và $g\in G$ . Nếu $b$ là một điểm của $U_i\cap U_j\cap U_k$ (trong đó $i,j$ , $k\in I$ ), ta có

(f_i\circ f_k^{-1})(b, e) = (b, g_{ik}(b))

và

(f_i\circ f_k^{-1})(b, e) = (f_i\circ f_j^{-1})\circ (f_j\circ f_k^{-1})(b, e)

= (f_i\circ f_j^{-1})(b, g_{jk}(b)) = (b, g_{ij}(b)g_{jk}(b))

Suy ra

g_{ik}(b) =g_{ij}(b)g_{jk}(b)

do đó họ $(g_{ij})$ là một đối chu trên B với giá trị trong G, phụ thuộc vào phủ $\mathscr{U}$ . Nó được gọi là đối chu được xác định bởi họ các sự tầm thường hóa $(f_i)_{i\in I}$ .

Cho B, G và $\mathscr{U}$ như trong định nghĩa 6, và cho $(g_{ij})\in$ $Z^1_{cont}(B,\mathscr{U},G)$ là một đối chu. Với mỗi cặp $(i, j)\in I\times I$ , ánh xạ $\gamma_{ij}: (U_i\cap U_j)\times G\rightarrow (U_i\cap U_j)\times G$ được xác định bởi

(5) $\gamma_{ij}(b, g) = (b, g_{ij}(b)g)$ với $b\in U_i\cap U_j$ và $g\in G$

là một đẳng cấu của các không gian sợi chính có cơ sở là $U_i\cap U_j$ . Với mọi bộ ba $(i, j, k)\in I\times I\times I$ và mọi cặp $(b, g)\in (U_i\cap U_j\cap U_k)\times G$ , ta có :

\gamma_{ik}(b, g) =\gamma_{ij}\circ \gamma_{jk}(b, g)

Cho F là không gian tô pô thu được bằng cách dán các không gian $U_i\times G$ dọc theo các $(U_i\cap U_j)\times G$ nhờ các song ánh $\gamma_{ij}$ (TG, I, p. 16). Với mỗi $i\in I$ , ảnh của $U_i\times G$ trong F là một tập mở của F (TG, I, p. 17, Prop. 9). Các phép chiếu chính tắc $p_i: U_i\times G\rightarrow U_i$ dán lại với nhau để cho một ánh xạ liên tục $p$ từ F vào B. Vì các ánh xạ $\gamma_{ij}$ tương thích với các phép toán phải của G trong các không gian $U_i\times G$ , suy ra một luật phép toán liên tục của G ở bên phải trên F, biến F thành một không gian sợi chính với cơ sở B và nhóm G, được trang bị một tầm thường hóa trên mỗi $U_i$ . Người ta nói rằng F là không gian sợi chính được xác định bởi đối chu trình $(g_{ij})$ .

Định nghĩa 7 01RO

Cho B là một không gian tô pô, G một nhóm tô pô và $\mathscr{U}= (U_i)_{i\in I}$ một phủ mở của B. Hai đối chu trình $(g_{ij})$ và $(g'_{ij})$ của $Z^1_{cont}(B,\mathscr{U},G)$ được gọi là đối đồng điều nếu tồn tại một họ $(h_i)_{i\in I}$ các ánh xạ liên tục $h_i: U_i\rightarrow G$ sao cho ta có

g'_{ij}(b) =h_i(b)g_{ij}(b)h_j(b)^{-1} \tag{6}

với mọi cặp $(i, j)\in I\times I$ và mọi $b\in U_i\cap U_j$ .

Quan hệ “ $(g_{ij})$ đối đồng điều với $(g'_{ij})$ ” là một quan hệ tương đương trên tập hợp $Z^1_{cont}(B,\mathscr{U},G)$ . Ta ký hiệu bởi $H^1_{cont}(B,\mathscr{U},G)$ tập thương của $Z^1_{cont}(B,\mathscr{U},G)$ theo quan hệ tương đương này.

Mệnh đề 11 01RP

Cho B là một không gian tô pô, G một nhóm tô pô và $\mathscr{U}= (U_i)_{i\in I}$ một phủ mở của B.

a) Mọi không gian sợi chính trên B với nhóm G, tầm thường hóa được trên $\mathscr{U}$ , đều đẳng cấu với một không gian sợi chính được xác định bởi một đối chu trình của $Z^1_{cont}(B,\mathscr{U},G)$ .

b) Cho $(E, p)$ và $(E', p')$ là các không gian sợi chính trên B, tầm thường hóa được trên $\mathscr{U}$ . Cho $(f_i)_{i\in I}($ resp. $(f'_i)_{i\in I})$ là một tầm thường hóa của $(E, p)$ ( resp. của $(E', p')$ ) thích nghi với $\mathscr{U}$ , và ký hiệu bởi $(g_{ij})_{(i,j)\in I\times I}$ ( resp. $(g'_{i,j})_{(i,j)\in I\times I}$ ) đối chu trình được xác định bởi tầm thường hóa này. Khi đó các không gian sợi chính $(E, p)$ và $(E', p')$ là đẳng cấu nếu và chỉ nếu các đối chu trình này là đối đồng điều.

Ta hãy chứng minh b). Cho $\varphi : E\rightarrow E'$ là một đẳng cấu của các không gian sợi chính có cơ sở B và nhóm G. Với mỗi $i\in I$ , cho $h_i$ là ánh xạ liên tục từ $U_i$ vào G được xác định bởi

(b, h_i(b)) =f'_i\circ \varphi \circ f_i^{-1}(b, e)

Vì, với mỗi $i\in I,f_i$ và $f'_i$ tương thích với các phép toán của G, ta có với mọi $b\in U_i$ và mọi $g\in G$ ,

(f'_i\circ \varphi \circ f_i^{-1})(b, g) = (b, h_i(b)g)

và

(f_i\circ \varphi^{-1}\circ (f'_i)^{-1})(b, g) = (b, h_i(b)^{-1}g)

Do đó, với mọi cặp $(i, j)\in I\times I$ và mọi điểm $b$ của $U_i\cap U_j:$ $f'_i\circ (f'_j)^{-1}(b, e) = (f'_i\circ \varphi \circ f_i^{-1})\circ (f_i\circ f_j^{-1})\circ (f_j\circ \varphi^{-1}\circ (f'_j)^{-1})(b, e)$

= (b, h_i(b)g_{ij}(b)h_j(b)^{-1})

nên ta có

g'_{ij}(b) =h_i(b)g_{ij}(b)h_j(b)^{-1}

Điều này chứng tỏ rằng các đối chu trình $(g_{ij})$ và $(g'_{ij})$ là đối đồng điều.

Ngược lại, giả sử rằng các cocycle này là đồng điều, và cho $(h_i)_{i\in I}$ là một họ các ánh xạ liên tục $h_i: U_i\rightarrow G$ sao cho $g'_{ij}(b) =h_i(b)g_{ij}(b)h_j(b)^{-1}$ với $i,j\in I$ và $b\in U_i\cap U_j$ . Với

$i\in I$ , gọi $\varphi_i:\overset{-1}{p}(U_i)\rightarrow (^-{p'}^1)(U_i)$ là ánh xạ được xác định bởi $f'_i\circ \varphi_i\circ$ $f_i^{-1}(b, g) = (b, h_i(b)g)$ , với $b\in U_i$ và $g\in G$ . Đó là một đẳng cấu của các không gian sợi chính có cơ sở $U_i$ và nhóm G. Với $(i, j)\in$ $I\times I$ , ký hiệu $\gamma_{ij}$ và $\gamma '_{ij}$ là các đồng phôi dán liên kết như trên với các cocycle $(g_{ij})$ và $(g'_{ij})$ tương ứng (I, p. 115, công thức (5)), sao cho $f_i(b, g) =\gamma_{ij}\circ f_j(b, g)$ và $f'_i(b, g) =\gamma '_{ij}\circ f'_j(b, g)$ với mọi $(b, g)\in (U_i\cap U_j)\times G$ . Do đó, với $(i, j)\in I\times I$ và $(b, g)\in (U_i\cap U_j)\times G$ , ta có các hệ thức

f'_i\circ \varphi_j\circ f_i^{-1}(b, g) =\gamma '_{ij}\circ (f'_j\circ \varphi_j\circ f_j^{-1})(b, g_{ij}(b)^{-1}g)

=\gamma '_{ij}(b, h_j(b)g_{ij}(b)^{-1}g)

= (b, g'_{ij}(b)h_j(b)g_{ij}(b)^{-1}g)

= (b, h_i(b)g) =f'_i\circ \varphi_i\circ f_i^{-1}(b, g)

Điều này chứng minh rằng $\varphi_i$ và $\varphi_j$ trùng nhau trên $\overset{-1}{p}(U_i\cap U_j)$ . Do đó các cấu xạ $\varphi_i$ dán lại với nhau thành một B-cấu xạ của các không gian sợi chính từ E đến $E'$ . Mệnh đề b) suy ra, vì mọi cấu xạ của các không gian sợi chính có cơ sở B và nhóm G đều là một đẳng cấu (I, p. 93, Mệnh đề 1).

Bây giờ chứng minh a). Cho $(E, p)$ là một không gian sợi chính với nhóm G được trang bị, với mỗi $i\in I$ , một phép tầm thường hóa $f_i:\overset{-1}{p}(U_i)\rightarrow$ $U_i\times G$ trên $U_i$ . Gọi $(g_{ij})$ là cocycle được xác định bởi họ này, và khi đó gọi F là không gian sợi chính được xác định bởi cocycle $(g_{ij})$ . Theo phép dựng, không gian sợi chính F được trang bị một phép tầm thường hóa trên $\mathscr{U}$ ; phép tầm thường hóa này xác định cocycle $(g_{ij})$ . Theo mệnh đề b), không gian sợi chính $(E, p)$ đẳng cấu với F.

Cho B là một không gian tôpô và G là một nhóm tôpô. Cho $(E, p)$ là một không gian sợi chính có cơ sở B và nhóm G. Gọi $s$ là một tiết diện của ánh xạ toàn ánh $p$ (E, II, p. 19, Mệnh đề 8). Ánh xạ $f: B\times G\rightarrow E$ được xác định bởi $f(b, g) =s(b)\cdot g$ là một song ánh tương thích với tác động của G. Trang bị cho $B\times G$ tôpô nhận được bằng phép chuyển cấu trúc; khi đó $(B\times G$ , pr $_1)$ là một không gian sợi chính có cơ sở B và nhóm G đẳng cấu với E. Do đó tồn tại một tập hợp T các không gian sợi chính có cơ sở B và nhóm G sao cho mọi không gian sợi chính có cơ sở B và nhóm G đều đẳng cấu với một phần tử của T. Ký hiệu bởi $P(B,G)$ tập hợp các lớp đẳng cấu của các không gian sợi chính có cơ sở B và nhóm G (E, II, p. 47).

Cho $\mathscr{U}= (U_i)_{i\in I}$ là một phủ mở của B. Gọi $P(B,\mathscr{U},G)$ là tập con của $P(B,G)$ gồm các lớp đẳng cấu của các bó chính có thể tầm thường hóa trên $\mathscr{U}$ . Theo mệnh đề 11, tồn tại một ánh xạ $r_{\mathscr{U}}$ từ $H^1_{cont}(B,\mathscr{U},G)$ vào $P(B,\mathscr{U},G)$ liên kết với lớp của một cocycle $(g_{ij})\in Z^1_{cont}(B,\mathscr{U},G)$ lớp đẳng cấu của không gian sợi chính được xác định bởi cocycle này; đó là một song ánh (loc. cit.). Song ánh ngược $s_{\mathscr{U}}$ liên kết với lớp đẳng cấu trong $H^1_{cont}(B,\mathscr{U},G)$ của một không gian sợi chính E, có thể tầm thường hóa trên $\mathscr{U}$ , lớp của cocycle được xác định bởi một họ tùy ý các phép tầm thường hóa của E trên $\mathscr{U}$ . Trong sự tương ứng này, lớp đẳng cấu của không gian sợi chính tầm thường $B\times G$ tương ứng với lớp đối đồng điều của cocycle hằng $g_{ij}=e$ , còn được gọi là cocycle tầm thường.

Theo định nghĩa của một không gian sợi chính, tập hợp $P(B,G)$ là hợp của các tập hợp dạng $P(B,\mathscr{U},G)$ , trong đó $\mathscr{U}$ là một phủ mở của B.

Cho $\mathscr{U}= (U_i)_{i\in I}$ là một phủ mở của B và cho $\mathscr{V}= (V_k)_{k\in K}$ là một phủ mở của B mịn hơn $\mathscr{U}$ . Ta có $P(B,\mathscr{U},G)\subset$ $P(B,\mathscr{V},G)$ ; gọi $i_{\mathscr{V} \mathscr{U}}$ là đơn ánh chính tắc được xác định bởi bao hàm này. Chọn một ánh xạ $\varphi : K\rightarrow I$ sao cho $V_k\subset U_{\varphi(k)}$ với mọi $k\in K$ . Cho một cocycle $(g_{ij})\in Z^1_{cont}(B,\mathscr{U},G)$ , đặt, với mọi cặp $(k, \ell )\in K\times K,\overline{g}_{k\ell}=g_{\varphi(k)\varphi(\ell)}|V_k\cap V_{\ell}$ .

Họ $(\overline{g}_{k\ell})$ là một cocycle trên B, với giá trị trong G, phụ thuộc vào $\mathscr{V}$ . Nếu $(g'_{ij})\in Z^1_{cont}(B,\mathscr{U},G)$ là một cocycle đối đồng điều với cocycle $(g_{ij})$ , thì cocycle $(\overline{g}'_{k\ell})$ suy ra từ $(g'_{k\ell})$ đối đồng điều với cocycle $(\overline{g}_{k\ell})$ . Suy ra rằng có một ánh xạ

c(\varphi ): H^1_{cont}(B,\mathscr{U},G)\rightarrow H^1_{cont}(B,\mathscr{V},G)

liên kết với lớp của $(g_{ij})$ lớp của $(\overline{g}_{k\ell})$ .

Cho E là một không gian sợi chính có cơ sở B và nhóm G và, với mọi $i\in$ I, cho $f_i: E_{U_i}\rightarrow U_i\times G$ là một phép tầm thường hóa của bó chính trên $U_i$ là $E_{U_i}$ . Với mọi $k\in$ K, cho $f'_k: E_{V_k}\rightarrow V_k\times G$ là phép tầm thường hóa suy ra từ $f_{\varphi(k)}$ bằng cách chuyển qua các tập con. Gọi $(g_{ij})\in Z^1_{cont}(B,\mathscr{U},G)$ là cocycle được xác định bởi họ $(f_i)$ ; cocycle được xác định bởi họ $(f'_k)$ chính xác là cocycle $(\overline{g}_{k\ell})$ được xác định ở trên. Do đó, biểu đồ sau là giao hoán:

H^1_{cont}(B,\mathscr{U},G)^{c(\varphi)}H^1_{cont}(B,\mathscr{V},G)

r_{\mathscr{U}}r_{\mathscr{V}}

P(B,\mathscr{U},G)^{i_{\mathscr{V} \mathscr{U}}}P(B,\mathscr{V},G)

Vì các ánh xạ $r_{\mathscr{U}}$ và $r_{\mathscr{V}}$ là song ánh, ánh xạ $c(\varphi )$ , tương tự như $i_{\mathscr{V} \mathscr{U}}$ , là một đơn ánh và không phụ thuộc vào lựa chọn $\varphi$ . Từ nay về sau ta sẽ viết $c_{\mathscr{V} \mathscr{U}}$ thay cho $c(\varphi )$ .

Cho $\mathscr{R}$ là tập hợp các phần tử của $\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(B))$ là những phủ mở của B. Với mọi phủ mở $\mathscr{U}$ của B, tồn tại một phủ mở $\mathscr{V}$ thuộc $\mathscr{R}$ sao cho $\mathscr{U}$ vừa mịn hơn vừa thô hơn $\mathscr{U}$ . Tập hợp $\mathscr{R}$ có thứ tự và lọc đối với quan hệ $\leqslant$ được định nghĩa bởi $\mathscr{U}\leqslant \mathscr{V}$ nếu $\mathscr{V}$ là một phủ mịn hơn $\mathscr{U}$ . Từ điều đã nói ở trên suy ra rằng một hệ quy nạp $(H^1_{cont}(B,\mathscr{U},G), c_{\mathscr{V} \mathscr{U}})$ đối với tập hợp có thứ tự được lọc $\mathscr{R}$ đã được xác định và họ $(r_{\mathscr{U}})$ là một hệ quy nạp các ánh xạ song ánh từ $(H^1_{cont}(B,\mathscr{U},G), c_{\mathscr{V} \mathscr{U}})$ vào $(P(B,\mathscr{U},G), i_{\mathscr{V} \mathscr{U}})$ . Nếu ta ký hiệu bởi $H^1_{cont}(B,G)$ giới hạn quy nạp của hệ $(H^1_{cont}(B,\mathscr{U},G), c_{\mathscr{V} \mathscr{U}})$ và bởi $r: H^1_{cont}(B,G)\rightarrow P(B,G)$ giới hạn quy nạp của họ $(r_{\mathscr{U}})$ , thì do đó ta có:

Định lý 4 01RQ

Ánh xạ $r: H^1_{cont}(B,G)\rightarrow P(B,G)$ là song ánh.

Cho $\mathscr{U}= (U_i)_{i\in I}$ là một phủ mở của B; ký hiệu bởi $c_{\mathscr{U}}$ ánh xạ chính tắc $H^1_{cont}(B,\mathscr{U},G)\rightarrow H^1_{cont}(B,G)$ . Nếu $(g_{ij})$ là một cocycle trên B, nhận giá trị trong G, phụ thuộc vào phủ mở $\mathscr{U}$ , thì phần tử $c_{\mathscr{U}}((g_{ij}))$ của $H^1_{cont}(B,G)$ được gọi là lớp đối đồng điều của cocycle $(g_{ij})$ .

Bài tập

Xem bài tập cho § 5.