Exercice 4, § 2

Soit $n$ un entier $\geqslant 1$ et soit U un voisinage ouvert connexe de 0 dans $\mathbf{C}^n$.

Soit $f: U\rightarrow \mathbf{C}$ une application analytique non constante. On pose $A =\overset{-1}{f}(0)$; on suppose que A n’est pas vide.

a) Démontrer qu’il existe un point $a\in$ A et un entier $p\geqslant 1$ tel que $D^mf(z) = 0$ pour tout $z\in A$ et tout $m\in \{0, . . . , p\}$ et $D^{p+1}f(a)= 0\not$ .

b) Soit $(\alpha_1, . . . , \alpha_n)$ une famille d’entiers positifs et soit $m\in \{1, . . . , n\}$ tels que $\alpha_1+\cdots +\alpha_n=p$ et $\partial_m\partial^{\alpha}f(a)= 0\not$ . Soit B l’ensemble des points $z\in U$ tels que $\partial^{\alpha}f(z) = 0$. Démontrer qu’il existe un voisinage V de $a$ contenu dans U tel que $B\cap V$ soit une sous-variété analytique de V de dimension $(n-1)$. c) Démontrer qu’il existe un voisinage W de $a$ contenu dans V tel que $A\cap W = B\cap W$. (Se ramener au cas où $m=n$ et poser $a= (a', a_n)$; prouver que pour tout point $w'\in \mathbf{C}^{n-1}$ assez proche de $a'$, il existe un point $w\in \mathbf{C}$ tel que $(w', w)\in V$ et $f(w', w) = 0$.)

d) Démontrer qu’il existe une partie fermée S de A, d’intérieur vide dans A, telle que A-S soit une sous-variété analytique de dimension $(n-1)$.