Bài tập 6, § 2

Cho $U$ là một lân cận mở của 0 trong $\mathbf{C}^n$ và cho $f_1, . . . , f_m$ là các ánh xạ giải tích từ U vào $\mathbf{C}$. Cho $f: U\rightarrow \mathbf{C}^m$ là ánh xạ $x\mapsto$ $(f_1(x), . . . , f_m(x))$. Bây giờ chứng minh sự tương đương của các điều kiện sau:

(i) Ánh xạ $f$ là étale tôpô tại 0 ;

(ii) Ta có $m=n$ và tồn tại một lân cận V của 0 được chứa trong U sao cho $f|V$ là đơn ánh ;

(iii) Vi phân của $f$ tại 0 là song ánh ;

(iv) Tồn tại một lân cận V của 0 được chứa trong U sao cho $f|V$ là một cấu xạ étale của các đa tạp.