Exercice 6, § 2

Soit U un voisinage ouvert de 0 dans $\mathbf{C}^n$ et soient $f_1, . . . , f_m$ des applications analytiques de U dans $\mathbf{C}$. Soit $f: U\rightarrow \mathbf{C}^m$ l’application $x\mapsto$ $(f_1(x), . . . , f_m(x))$. Montrer l’équivalence des conditions suivantes :

(i) L’application $f$ est topologiquement étale en 0 ;

(ii) On a $m=n$ et il existe un voisinage V de 0 contenu dans U tel que $f|V$ soit injective ;

(iii) La différentielle de $f$ en 0 est bijective ;

(iv) Il existe un voisinage V de 0 contenu dans U tel que $f|V$ soit un morphisme étale de variétés.