Bài tập 7, § 2

(a) Cho X là tập hợp [0; 1[. Cho $\mathscr{T}_X$ là tập hợp các tập con U của X thỏa mãn hai tính chất:

(i) Giao $U\cap ]0; 1[$ là mở ;

(ii) Nếu $0\in U$, tồn tại một số nguyên $p\geqslant 1$ sao cho $1/n\in U$ với mọi số nguyên $n\geqslant p$.

Bài tập chứng minh rằng $\mathscr{T}_X$ là một tôpô trên X.

(b) Cho Z là tập hợp $[0,1[^2\times (\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})$. Cho $\mathscr{T}_Z$ là tập hợp các tập con U của Z thỏa mãn:

(i) Giao của U với phần bù của $\{(0,0)\} \times (\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})$ là mở trong không gian Z được trang bị tôpô tích của $X\times X\times (\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})$;

(ii) Với mọi $a\in \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ sao cho $(0,0, a)\in U$, tồn tại một số nguyên $p\geqslant 1$ sao cho, với mọi cặp $(m, n\surd )$ các số nguyên tự nhiên thỏa mãn$\surd$ inf($m, n$)$\geqslant p$, ta có $(1/n,\surd 1/m, a)\in \surd U$ nếu $(n-m2)(m-n2)>0$, $(1/n,1/m, a+ 1)\in U$ nếu $(n-m2)(m-n2)<0$, $(0,1/m, a)\in U$ và $(1/n,0, a)\in U$.

Bài tập chứng minh rằng $\mathscr{T}_Z$ là một tôpô trên Z.

(c) Các tập hợp X và Z được trang bị các tôpô này, và không gian $X\times X$ với tôpô tích. Cho $p: Z\rightarrow X\times X$ là phép chiếu chính tắc. Bài tập chứng minh rằng $p$ làm cho Z trở thành một phủ bậc 2 của $X\times X$.

(d) Bài tập chứng minh rằng $p$ không có tiết diện liên tục nào.

(e) Cho $s: X\times X\rightarrow Z$ là ánh xạ được cho bởi $(x, y)\mapsto (x, y,0)$. Bài tập chứng minh rằng với mọi $x\in X$, hạn chế của $s$ lên $X\times \{x\}$ là liên tục, tương tự hạn chế của $s$ lên $\{x\} \times X$ là liên tục.