Exercice 7, § 2

a) Soit X l’ensemble [0; 1[. Soit $\mathscr{T}_X$ l’ensemble des parties U de X vérifiant les deux propriétés :

(i) L’intersection $U\cap ]0; 1[$ est ouverte ;

(ii) Si $0\in U$, il existe un entier $p\geqslant 1$ tel que $1/n\in U$ pour tout entier $n\geqslant p$.

Démontrer que $\mathscr{T}_X$ est une topologie sur X.

b) Soit Z l’ensemble $[0,1[^2\times (\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})$. Soit $\mathscr{T}_Z$ l’ensemble des parties U de Z vérifiant :

(i) L’intersection de U avec le complémentaire de $\{(0,0)\} \times (\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})$ est ouverte dans l’espace Z muni de la topologie produit de $X\times X\times (\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})$;

(ii) Pour tout $a\in \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ tel que $(0,0, a)\in U$, il existe un entier $p\geqslant 1$ tel que, pour tout couple $(m, n\surd )$ d’entiers naturels vérifiant$\surd$ inf($m, n$)$\geqslant p$, on a $(1/n,\surd 1/m, a)\in \surd U$ si $(n-m2)(m-n2)>0$, $(1/n,1/m, a+ 1)\in U$ si $(n-m2)(m-n2)<0$, $(0,1/m, a)\in U$ et $(1/n,0, a)\in U$.

Démontrer que $\mathscr{T}_Z$ est une topologie sur Z.

c) On munit les ensembles X et Z de ces topologies, et l’espace $X\times X$ de la topologie produit. Soit $p: Z\rightarrow X\times X$ la projection canonique. Démontrer que $p$ fait de Z un revêtement de degré 2 de $X\times X$.

d) Démontrer que $p$ n’admet aucune section continue.

e) Soit $s: X\times X\rightarrow Z$ l’application donnée par $(x, y)\mapsto (x, y,0)$. Démontrer que pour tout $x\in X$, la restriction de $s$ à $X\times \{x\}$ est continue, de même que la restriction de $s$ à $\{x\} \times X$.