Bài tập 1, § 3

Cho X là một không gian tôpô paracompact và $\mathscr{F}$ là một bó các nhóm Abel trên X. (a) Chứng minh rằng hai tính chất sau là tương đương:

(i) Bó các tự đồng cấu của $\mathscr{F}$ là mềm ;

(ii) Với mọi cặp $(A,B)$ gồm hai tập con đóng rời nhau của X, tồn tại một tự đồng cấu $u$ của $\mathscr{F}$ cảm sinh đồng nhất trên một lân cận của A và bằng không trên một lân cận của B.

Khi đó người ta nói rằng $\mathscr{F}$ là mịn.

(b) Giả sử rằng mọi điểm của X đều có một lân cận U sao cho bó $\mathscr{F}|U$ cảm sinh trên U là mịn. Chứng minh rằng $\mathscr{F}$ là mịn.

(c) Cho $p$ là một phần tử của $\mathbf{N}\cup \{\infty \}$ và M là một đa tạp khả vi trên $\mathbf{R}$ lớp $C^p$. Chứng minh rằng bó $\mathscr{C}^p(M;\mathbf{R}^n)$ là mịn.