Exercice 1, § 3

Soit X un espace topologique paracompact et soit $\mathscr{F}$ un faisceau de groupes abéliens sur X. a) Démontrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) Le faisceau des endomorphismes de $\mathscr{F}$ est mou ;

(ii) Pour tout couple $(A,B)$ de parties fermées disjointes de X, il existe un endomorphisme $u$ de $\mathscr{F}$ qui induit l’identité au voisinage de A et qui est nul au voisinage de B.

On dit alors que $\mathscr{F}$ est fin.

b) On suppose que tout point de X possède un voisinage U tel que le faisceau $\mathscr{F}|U$ induit sur U est fin. Démontrer que $\mathscr{F}$ est fin.

c) Soit $p$ un élément de $\mathbf{N}\cup \{\infty \}$ et soit M une variété différentielle sur $\mathbf{R}$ de classe $C^p$. Démontrer que le faisceau $\mathscr{C}^p(M;\mathbf{R}^n)$ est fin.