Bài tập 3, § 3

Cho M là một đa tạp khả vi paracompact địa phương có số chiều hữu hạn. Cho $n$ và $p$ là các số nguyên và cho D là một cấu xạ từ bó $\mathscr{C}^{\infty}(M;\mathbf{R}^n)$ vào bó $\mathscr{C}^{\infty}(M;\mathbf{R}^p)$. Với mọi $s\in \mathscr{C}^{\infty}(M;\mathbf{R}^n)$, mọi số nguyên $r$ và mọi điểm $x\in M$, ta ký hiệu bởi j$^rs(x)$ jet bậc $r$ của ánh xạ $s$ có nguồn là $x$ và đích là $s(x)$ (VAR, 12.1.2). Ta trang bị cho không gian $\mathbf{R}^p$ chuẩn Euclid. a) Cho $x\in M$. Bài tập chứng minh rằng tồn tại một lân cận U của $x$ và một số nguyên $r$ sao cho, với mọi tiết diện $s\in \mathscr{C}^{\infty}(M;\mathbf{R}^n)$ và mọi $y\in U-\{x\}$ sao cho j$^rs(y) = 0$, ta có $\|Ds(y)\|\leqslant 1$.

b) Cho U là một tập con mở tương đối compact của M. Bây giờ chứng minh rằng hạn chế của D lên U là một toán tử vi phân (định lý của Peetre[^1]).

[^1]: Peetre (J.), « Une caractérisation abstraite des opérateurs différentiels », Math. Scand. 7 (1959), 211-218 and « Rectifications à l’article “Une caractérisation abstraite des opérateurs différentiels” », Math. Scand. 8 (1960), 116-120.