Exercice 3, § 3

Soit M une variété différentiable paracompacte localement de dimension finie. Soient $n$ et $p$ des entiers et soit D un morphisme du faisceau $\mathscr{C}^{\infty}(M;\mathbf{R}^n)$ dans le faisceau $\mathscr{C}^{\infty}(M;\mathbf{R}^p)$. Pour tout $s\in \mathscr{C}^{\infty}(M;\mathbf{R}^n)$, tout entier $r$ et tout point $x\in M$, on note j$^rs(x)$ le jet d’ordre $r$ de l’application $s$ de source $x$ et de but $s(x)$ (VAR, 12.1.2). On munit l’espace $\mathbf{R}^p$ de la norme euclidienne. a) Soit $x\in M$. Démontrer qu’il existe un voisinage U de $x$ et un entier $r$ tel que, pour toute section $s\in \mathscr{C}^{\infty}(M;\mathbf{R}^n)$ et tout $y\in U-\{x\}$ tel que j$^rs(y) = 0$, on a $\|Ds(y)\|\leqslant 1$.

b) Soit U un ouvert relativement compact de M. Montrer que la restriction de D à U est un opérateur différentiel (théorème de Peetre[^1]).

[^1]: Peetre (J.), « Une caractérisation abstraite des opérateurs différentiels », Math. Scand. 7 (1959), 211-218 et « Rectifications à l’article “Une caractérisation abstraite des opérateurs différentiels” », Math. Scand. 8 (1960), 116-120.