Bài tập 4, § 3

Cho X là một không gian tôpô và cho $\mathscr{F}$ là một tiền bó trên X.

Với mỗi tập mở U của X, ký hiệu $S_U(\mathscr{F})$ là tập hợp các cặp $(\mathscr{V},(s_V)_{V\in\mathscr{V}})$, thỏa mãn các tính chất sau:

(i) Các phần tử của $\mathscr{V}$ là các tập con mở của X và ta có U = $\bigcup_{V\in\mathscr{V}}V$ ;

(ii) Với mọi $V\in \mathscr{V}$, ta có $s_V\in \mathscr{F}(V)$;

(iii) Với mọi cặp $(V,W)$ gồm các phần tử của $\mathscr{V}$, ta có $s_V|(V\cap W) =$ $s_W|(V\cap W)$.

Tiền bó $\mathscr{F}$ được gọi là tách được nếu, với mọi phần tử $(\mathscr{V},(s_V))$ của $S_U(\mathscr{F})$, tồn tại nhiều nhất một phần tử $s\in \mathscr{F}(U)$ sao cho $s|V =s_V$ với mọi $V\in \mathscr{V}$.

a) Chứng minh rằng một bó là một tiền bó tách được.

b) Với mỗi tập mở U của X, trang bị cho tập $S_U(\mathscr{F})$ quan hệ tương đương tinh nhất sao cho, với hai họ $s=$ $(\mathscr{V},(s_V)_{V\in\mathscr{V}})$ và $t= (\mathscr{W},(t_W)_{W\in\mathscr{W}})$ của $S_U(\mathscr{F})$, ta có $R(s, t)$ nếu, với mọi tập mở $V\in \mathscr{V}$, tồn tại một tập mở $W\in \mathscr{W}$ sao cho $W\subset V$ và $s_V|_W=t_W$. Ta ký hiệu $\mathscr{F}^+(U)$ là tập hợp các lớp tương đương.

Cho U và V là các tập mở của X sao cho $V\subset U$. Chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ duy nhất $\sigma_{UV}:\mathscr{F}^+(U)\rightarrow \mathscr{F}^+(V)$ sao cho ảnh của lớp của một phần tử $(\mathscr{W},(t_W)_{W\in\mathscr{W}})$ của $S_U(\mathscr{F})$ là lớp của phần tử $(\mathscr{W}_V,(t_W|_{W\cap V}))$, trong đó $\mathscr{W}_V$ ký hiệu họ các tập $W\cap V$, với $W\in \mathscr{W}$.

c) Chứng minh rằng $(\mathscr{F}^+(U), \sigma_{UV})$ là một tiền bó tách được.

d) Chứng minh rằng tồn tại một cấu xạ duy nhất của các tiền bó $i_{\mathscr{F}}:\mathscr{F}\rightarrow \mathscr{F}^+$ sao cho, với mọi tập mở U của X và mọi phần tử $s\in \mathscr{F}(U)$, tiết diện $i_{\mathscr{F}}(s)$ là lớp của phần tử $(\{U\},(s_U)_{U\in \{U\}})$ của $S_U(\mathscr{F})$.

e) Chứng minh rằng với mọi tiền bó tách được $\mathscr{G}$ trên X và mọi cấu xạ $f:\mathscr{F}\rightarrow \mathscr{G}$ của các tiền bó, tồn tại một cấu xạ duy nhất của các tiền bó $f^+:\mathscr{F}^+\rightarrow \mathscr{G}$ sao cho $f=f^+\circ i_{\mathscr{F}}$.

f) Chứng minh rằng $i_{\mathscr{F}}$ là một đẳng cấu khi và chỉ khi $\mathscr{F}$ là một bó.

g) Nếu $\mathscr{F}$ là một tiền bó tách được, chứng minh rằng tiền bó $\mathscr{F}^+$ là một bó.

h) Chứng minh rằng với mọi bó $\mathscr{G}$ và mọi cấu xạ $f:\mathscr{F}\rightarrow \mathscr{G}$ của các tiền bó, tồn tại một cấu xạ duy nhất của các tiền bó $f^{++}:\mathscr{F}^{++}\rightarrow \mathscr{G}$ sao cho $f=f^{++}\circ i_{\mathscr{F}^+}\circ i_{\mathscr{F}}$. Suy ra rằng bó $\mathscr{F}^{++}$ đẳng cấu với bó liên kết với $\mathscr{F}$.

i) Cho A là một tập hợp có lực lượng $\geqslant 2$ và cho $\mathscr{F}$ là tiền bó trên X cho bởi $\mathscr{F}(U) = A$ với mọi tập mở U của X, các ánh xạ hạn chế là ánh xạ đồng nhất của A. Chứng minh rằng $\mathscr{F}$ không là một bó. Tính $\mathscr{F}^+(U)$ với mọi tập mở U của X. Kiểm tra đặc biệt rằng $\mathscr{F}^+$ không là một bó nếu tồn tại một tập mở của X không liên thông.