Exercice 4, § 3

Soit X un espace topologique et soit $\mathscr{F}$ un préfaisceau sur X.

Pour tout ouvert U de X, on note $S_U(\mathscr{F})$ l’ensemble des couples $(\mathscr{V},(s_V)_{V\in\mathscr{V}})$, vérifiant les propriétés suivantes :

(i) Les éléments de $\mathscr{V}$ sont des parties ouvertes de X et l’on a U = $\bigcup_{V\in\mathscr{V}}V$ ;

(ii) Pour tout $V\in \mathscr{V}$, on a $s_V\in \mathscr{F}(V)$;

(iii) Pour tout couple $(V,W)$ d’éléments de $\mathscr{V}$, on a $s_V|(V\cap W) =$ $s_W|(V\cap W)$.

On dit que le préfaisceau $\mathscr{F}$ est séparé si, pour tout élément $(\mathscr{V},(s_V))$ de $S_U(\mathscr{F})$, il existe au plus un élément $s\in \mathscr{F}(U)$ tel que $s|V =s_V$ pour tout $V\in \mathscr{V}$.

a) Démontrer qu’un faisceau est un préfaisceau séparé.

b) Pour tout ouvert U de X, on munit l’ensemble $S_U(\mathscr{F})$ de la relation d’équivalence la moins fine pour laquelle, étant données deux familles $s=$ $(\mathscr{V},(s_V)_{V\in\mathscr{V}})$ et $t= (\mathscr{W},(t_W)_{W\in\mathscr{W}})$ de $S_U(\mathscr{F})$, on a $R(s, t)$ si, pour tout ouvert $V\in \mathscr{V}$, il existe un ouvert $W\in \mathscr{W}$ tel que $W\subset V$ et $s_V|_W=t_W$. On note $\mathscr{F}^+(U)$ l’ensemble des classes d’équivalence.

Soient U et V des ouverts de X tels que $V\subset U$. Démontrer qu’il existe une unique application $\sigma_{UV}:\mathscr{F}^+(U)\rightarrow \mathscr{F}^+(V)$ telle que l’image de la classe d’un élément $(\mathscr{W},(t_W)_{W\in\mathscr{W}})$ de $S_U(\mathscr{F})$ soit la classe de l’élément $(\mathscr{W}_V,(t_W|_{W\cap V}))$, où l’on désigne par $\mathscr{W}_V$ la famille des ensembles $W\cap V$, pour $W\in \mathscr{W}$.

c) Démontrer que $(\mathscr{F}^+(U), \sigma_{UV})$ est un préfaisceau séparé.

d) Démontrer qu’il existe un morphisme de préfaisceaux $i_{\mathscr{F}}:\mathscr{F}\rightarrow \mathscr{F}^+$, et un seul, tel que, pour tout ouvert U de X et tout élément $s\in \mathscr{F}(U)$, la section $i_{\mathscr{F}}(s)$ soit la classe de l’élément $(\{U\},(s_U)_{U\in \{U\}})$ de $S_U(\mathscr{F})$.

e) Démontrer que, pour tout préfaisceau séparé $\mathscr{G}$ sur X et tout morphisme $f:\mathscr{F}\rightarrow \mathscr{G}$ de préfaisceaux, il existe un unique morphisme de préfaisceaux $f^+:\mathscr{F}^+\rightarrow \mathscr{G}$ tel que $f=f^+\circ i_{\mathscr{F}}$.

f) Démontrer que $i_{\mathscr{F}}$ est un isomorphisme si et seulement si $\mathscr{F}$ est un faisceau.

g) Si $\mathscr{F}$ est un préfaisceau séparé, démontrer que le préfaisceau $\mathscr{F}^+$ est un faisceau.

h) Démontrer que pour tout faisceau $\mathscr{G}$ et tout morphisme $f:\mathscr{F}\rightarrow \mathscr{G}$ de préfaisceaux, il existe un unique morphisme $f^{++}:\mathscr{F}^{++}\rightarrow \mathscr{G}$ tel que $f=f^{++}\circ i_{\mathscr{F}^+}\circ i_{\mathscr{F}}$. En déduire que le faisceau $\mathscr{F}^{++}$ est isomorphe au faisceau associé à $\mathscr{F}$.

i) Soit A un ensemble de cardinal $\geqslant 2$ et soit $\mathscr{F}$ le préfaisceau sur X donné par $\mathscr{F}(U) = A$ pour tout ouvert U de X, les applications de restriction étant l’application identique de A. Démontrer que $\mathscr{F}$ n’est pas un faisceau. Calculer $\mathscr{F}^+(U)$ pour tout ouvert U de X. Vérifier en particulier que $\mathscr{F}^+$ n’est pas un faisceau s’il existe un ouvert de X qui n’est pas connexe.