Bài tập 5, § 3

Cho $A$ và $B$ là các không gian tôpô và cho $u: A\rightarrow B$ là một ánh xạ liên tục. Với mọi bó $\mathscr{F}$ trên B và mọi phần tử $s\in \mathscr{F}(B)$, ký hiệu $s_A$ là phần tử của $(u^*\mathscr{F})(A)$ suy ra từ $s$.

a) Cho $\mathscr{F}$ là một bó trên B, cho $s$ và $s'$ là các thiết diện của $\mathscr{F}$ trên B. Giả sử rằng, với mọi cặp $(U,U')$ các tập mở của B sao cho $\overset{-1}{u}(U) =\overset{-1}{u}(U')$, ta có $U = U'$. Chứng minh rằng $s=s'$ nếu $s_A=s'_A$.

b) Chứng minh rằng $s=s'$ nếu $u$ là toàn ánh và $s_A=s'_A$.

Kể từ đây, giả sử rằng, với mọi bó $\mathscr{F}$ trên B và với mọi cặp $(s, s')$ các thiết diện của $\mathscr{F}$ trên B sao cho $s_A=s'_A$, ta có $s=s'$.

c) Giả sử rằng B là một không gian tôpô khả tiếp cận (nghĩa là, các tập con của B rút gọn thành một điểm là đóng, cf. TG, I, p. 100, §8, exerc. 1). Chứng minh rằng $u$ là toàn ánh.

d) Chứng minh rằng, với mọi cặp $(U,U')$ các tập mở của B sao cho $\overset{-1}{u}(U) =\overset{-1}{u}(U')$, ta có $U = U'$.

e) Lấy B là không gian tôpô $\{1,2\}$ được trang bị tôpô mà các tập mở là $\emptyset ,\{1\}$ và $\{1,2\}$. Chứng minh rằng nếu $s$ và $s'$ là các thiết diện của một bó $\mathscr{F}$ trên B sao cho $s_2=s'_2$, thì $s=s'$.