Exercice 5, § 3

Soient A et B des espaces topologiques et soit $u: A\rightarrow B$ une application continue. Pour tout faisceau $\mathscr{F}$ sur B et tout élément $s\in \mathscr{F}(B)$, on note $s_A$ l’élément de $(u^*\mathscr{F})(A)$ déduit de $s$.

a) Soit $\mathscr{F}$ un faisceau sur B, soient $s$ et $s'$ des sections de $\mathscr{F}$ sur B. On suppose que, pour tout couple $(U,U')$ d’ouverts de B tels que $\overset{-1}{u}(U) =\overset{-1}{u}(U')$, on a $U = U'$. Démontrer que $s=s'$ si $s_A=s'_A$.

b) Démontrer que $s=s'$ si $u$ est surjective et $s_A=s'_A$.

On suppose désormais que, pour tout faisceau $\mathscr{F}$ sur B et pour tout couple $(s, s')$ de sections de $\mathscr{F}$ sur B telles que $s_A=s'_A$, on a $s=s'$.

c) On suppose que B est un espace topologique accessible (c’est-à-dire que les parties de B réduites à un point sont fermées, cf. TG, I, p. 100, §8, exerc. 1). Démontrer que $u$ est surjective.

d) Démontrer que, pour tout couple $(U,U')$ de parties ouvertes de B telles que $\overset{-1}{u}(U) =\overset{-1}{u}(U')$, on a $U = U'$.

e) On prend pour B l’espace topologique $\{1,2\}$ muni de la topologie pour laquelle les ensembles ouverts sont $\emptyset ,\{1\}$ et $\{1,2\}$. Démontrer que si $s$ et $s'$ sont des sections d’un faisceau $\mathscr{F}$ sur B telles que $s_2=s'_2$, alors $s=s'$.