Bài tập 6, § 3

Cho $\mathscr{F}$ là một bó trên một không gian tôpô B. Ta nói rằng $\mathscr{F}$ là flasque nếu, với mọi tập con mở U của B và mọi tiết diện $s\in \mathscr{F}(U)$, tồn tại một tiết diện $\widetilde{s}\in \mathscr{F}(B)$ sao cho $\widetilde{s}|U =s$.

(a) Nếu B là paracompact, chứng minh rằng mọi bó flasque đều là mềm.

(b) Giả sử rằng mọi điểm $b\in B$ có một lân cận mở U sao cho bó $\mathscr{F}|U$ cảm sinh từ $\mathscr{F}$ bởi hạn chế vào U là flasque. Chứng minh rằng $\mathscr{F}$ là flasque.

(c) Giả sử rằng $\mathscr{F}$ là flasque. Cho A là một không gian tôpô và cho $u: B\rightarrow A$ là một ánh xạ liên tục. Chứng minh rằng $u_*(\mathscr{F})$ là flasque.

(d) Giả sử rằng B là một không gian tôpô mêtric hóa được. Nếu $\mathscr{F}$ là một bó flasque trên B, chứng minh rằng, với mọi tập con A của B, bó cảm sinh trên A vẫn là flasque.

(e) Chứng minh rằng tồn tại một bó flasque $\mathscr{F}'$ và một cấu xạ của các bó $u:\mathscr{F}\rightarrow \mathscr{F}'$ sao cho $u(U)$ là đơn ánh với mọi tập con mở U của B. (Lấy cho bó $\mathscr{F}'$ bó các tiết diện không nhất thiết liên tục của ánh xạ chính tắc từ không gian étalé $E_{\mathscr{F}}$ vào B.)