Exercice 6, § 3

Soit $\mathscr{F}$ un faisceau sur un espace topologique B. On dit que $\mathscr{F}$ est flasque si, pour tout ouvert U de B et toute section $s\in \mathscr{F}(U)$, il existe une section $\widetilde{s}\in \mathscr{F}(B)$ telle que $\widetilde{s}|U =s$.

a) Si B est paracompact, démontrer que tout faisceau flasque est mou.

b) On suppose que tout point $b\in B$ possède un voisinage ouvert U tel que le faisceau $\mathscr{F}|U$ déduit de $\mathscr{F}$ par restriction à U soit flasque. Démontrer que $\mathscr{F}$ est flasque.

c) On suppose que $\mathscr{F}$ est flasque. Soit A un espace topologique et soit $u: B\rightarrow A$ une application continue. Démontrer que $u_*(\mathscr{F})$ est flasque.

d) On suppose que B est un espace topologique métrisable. Si $\mathscr{F}$ est un faisceau flasque sur B, démontrer que, pour toute partie A de B, le faisceau induit sur A est encore flasque.

e) Démontrer qu’il existe un faisceau flasque $\mathscr{F}'$ et un morphisme de faisceaux $u:\mathscr{F}\rightarrow \mathscr{F}'$ tel que $u(U)$ soit injectif pour tout ouvert U de B. (Prendre pour faisceau $\mathscr{F}'$ le faisceau des sections non nécessairement continues de l’application canonique de l’espace étalé $E_{\mathscr{F}}$ dans B.)