Bài tập 7, § 3

Cho B là một không gian tôpô chuẩn tắc. Cho $(U_i)_{i\in I}$ là một phủ mở hữu hạn địa phương của B. Với mỗi cặp $(i, j)$ các phần tử của I và mỗi $b\in U_i\cap U_j$, cho $V_{i,j}(b)$ là một lân cận của $b$ được chứa trong $U_i\cap U_j$. Chứng minh rằng tồn tại một họ $(V(b))_{b\in B}$ thỏa mãn các tính chất sau:

(i) Với mọi $b\in B$, tập con $V(b)$ là một lân cận mở của $b$;

(ii) Nếu $b\in U_i\cap U_j$, thì $V(b)\subset V_{i,j}(b)$;

(iii) Nếu $V(a)$ và $V(b)$ có một điểm chung, thì tồn tại $i\in I$ sao cho $V(a)$ và $V(b)$ đều được chứa trong $U_i$.

(Đưa vào một phủ mở $(U'_i)_{i\in I}$ của B sao cho $\overline{U'_i}\subset U_i$ với mọi $i$. Xây dựng một họ $(V(b))_{b\in B}$ thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) và sao cho, nếu $V(b)$ gặp $\overline{U'_i}$, thì $b\in \overline{U'_i}$. Chứng minh rằng khi đó tính chất (iii) được thỏa mãn.)