Exercice 7, § 3

Soit B un espace topologique normal. Soit $(U_i)_{i\in I}$ un recouvrement ouvert localement fini de B. Pour tout couple $(i, j)$ d’éléments de I et tout $b\in U_i\cap U_j$, soit $V_{i,j}(b)$ un voisinage de $b$ contenu dans $U_i\cap U_j$. Démontrer qu’il existe une famille $(V(b))_{b\in B}$ vérifiant les propriétés suivantes :

(i) Pour tout $b\in B$, la partie $V(b)$ est un voisinage ouvert de $b$;

(ii) Si $b\in U_i\cap U_j$, alors $V(b)\subset V_{i,j}(b)$;

(iii) Si $V(a)$ et $V(b)$ ont un point commun, il existe $i\in I$ tel que $V(a)$ et $V(b)$ soient tous deux contenus dans $U_i$.

(Introduire un recouvrement ouvert $(U'_i)_{i\in I}$ de B tel que $\overline{U'_i}\subset U_i$ pour tout $i$. Construire une famille $(V(b))_{b\in B}$ vérifiant les conditions (i) et (ii) et telle que, si $V(b)$ rencontre $\overline{U'_i}$, alors $b\in \overline{U'_i}$. Démontrer que la propriété (iii) est alors satisfaite.)