Bài tập 8, § 3

Cho B là một không gian tôpô, cho $\mathscr{F}$ là một tiền bó trên B, cho $\widetilde{\mathscr{F}}$ là bó liên kết và cho $\sigma_{\mathscr{F}}:\mathscr{F}\rightarrow \widetilde{\mathscr{F}}$ là cấu xạ chính tắc.

a) Ta nói rằng hai phần tử $s, t\in \mathscr{F}(B)$ là bằng địa phương nếu mọi điểm của B đều có một lân cận mở U sao cho $s|U =t|U$. Bài tập chứng minh rằng quan hệ « $s$ và $t$ bằng địa phương » là một quan hệ tương đương trong $\mathscr{F}(B)$.

b) Bài tập chứng minh rằng, với $s, t\in \mathscr{F}(B)$, ta có $\sigma_{\mathscr{F}}(s) =\sigma_{\mathscr{F}}(t)$ khi và chỉ khi $s$ và $t$ bằng địa phương.

c) Giả sử rằng B là paracompact và rằng với mọi phủ mở hữu hạn địa phương $(U_i)_{i\in I}$ của B và mọi họ $(s_i)_{i\in I}$, trong đó $s_i\in \mathscr{F}(U_i)$, sao cho các hạn chế của $s_i$ và $s_j$ lên $U_i\cap U_j$ trùng nhau, tồn tại $s\in \mathscr{F}(B)$ sao cho $s|U_i=s_i$ với mọi $i$.

Bài tập chứng minh rằng ánh xạ $\sigma_{\mathscr{F}}(B)$ là toàn ánh.