Exercice 8, § 3

Soit B un espace topologique, soit $\mathscr{F}$ un préfaisceau sur B, soit $\widetilde{\mathscr{F}}$ le faisceau associé et $\sigma_{\mathscr{F}}:\mathscr{F}\rightarrow \widetilde{\mathscr{F}}$ le morphisme canonique.

a) On dit que deux éléments $s, t\in \mathscr{F}(B)$ sont localement égaux si tout point de B possède un voisinage ouvert U tel que $s|U =t|U$. Démontrer que la relation « $s$ et $t$ sont localement égaux » est une relation d’équivalence dans $\mathscr{F}(B)$.

b) Démontrer que, pour $s, t\in \mathscr{F}(B)$, on a $\sigma_{\mathscr{F}}(s) =\sigma_{\mathscr{F}}(t)$ si et seulement si $s$ et $t$ sont localement égaux.

c) On suppose que B est paracompact et que pour tout recouvrement ouvert localement fini $(U_i)_{i\in I}$ de B et toute famille $(s_i)_{i\in I}$, où $s_i\in \mathscr{F}(U_i)$, telle que les restrictions à $U_i\cap U_j$ de $s_i$ et $s_j$ coïncident, il existe $s\in \mathscr{F}(B)$ tel que $s|U_i=s_i$ pour tout $i$.

Démontrer que l’application $\sigma_{\mathscr{F}}(B)$ est surjective.