Bài tập 5, § 4

Cho B là compact hóa Alexandroff của không gian $\mathbf{N}\times ]0,1[$ và $o$ là điểm ở vô hạn của nó (“vòng tai Hawaii”).

a) Chứng minh rằng không gian B là liên thông, địa phương liên thông, và địa phương liên thông bằng cung.

b) Cho $(r_n)_{n\in\mathbf{N}}$ là một dãy giảm nghiêm ngặt các số thực hội tụ về 0. Với mọi $n\in \mathbf{N}$, ký hiệu $C_n$ là đường tròn của mặt phẳng số có tâm $(r_n,0)$ và bán kính $r_n$; gọi P là hợp của các $C_n$. Chứng minh rằng B là đồng phôi với P và mọi đồng phôi từ B lên P đều ánh xạ điểm $o$ lên gốc của mặt phẳng.

c) Với $n\in \mathbf{N}$, ký hiệu $P_n= C_0\cup \cdots \cup C_n$ và $f_n$ là ánh xạ duy nhất từ P vào $P_n$ sao cho $f_n(x) =x$ với $x\in P_n$ và $f_n(x) = 0$ trong các trường hợp khác. Chứng minh rằng $f_n$ liên tục.

Cho E và $E'$ là các phủ của P. Chứng minh rằng ánh xạ chính tắc Mor$_P(E',E)\rightarrow$ lim$\longrightarrow_n$ Mor$_P(E'_{P_n},E_{P_n})$ là một song ánh.

Cho E là một phủ của P; chứng minh rằng tồn tại $n\in \mathbf{N}$ sao cho E đẳng cấu với $f_m^*(E_{P_m})$, với mọi số nguyên $m\geqslant n$.