Exercice 5, § 4

Soit B le compactifié d’Alexandroff de l’espace $\mathbf{N}\times ]0,1[$ et soit $o$ son point à l’infini (« boucle d’oreille hawaïenne »).

a) Démontrer que l’espace B est connexe, localement connexe, et localement connexe par arcs.

b) Soit $(r_n)_{n\in\mathbf{N}}$ une suite strictement décroissante de nombres réels tendant vers 0. Pour tout $n\in \mathbf{N}$, on note $C_n$ le cercle du plan numérique de centre $(r_n,0)$ et de rayon $r_n$; soit P la réunion des $C_n$. Démontrer que B est homéomorphe à P et que tout homéomorphisme de B sur P applique le point $o$ sur l’origine du plan.

c) Pour $n\in \mathbf{N}$, on note $P_n= C_0\cup \cdots \cup C_n$ et $f_n$ l’unique application de P dans $P_n$ telle que $f_n(x) =x$ pour $x\in P_n$ et $f_n(x) = 0$ sinon. Démontrer que $f_n$ est continue.

Soient E et $E'$ des revêtements de P. Démontrer que l’application canonique Mor$_P(E',E)\rightarrow$ lim$\longrightarrow_n$ Mor$_P(E'_{P_n},E_{P_n})$ est une bijection.

Soit E un revêtement de P ; démontrer qu’il existe $n\in \mathbf{N}$ tel que E soit isomorphe à $f_m^*(E_{P_m})$, pour tout entier $m\geqslant n$.