Bài tập 6, § 4

Chúng ta nhắc lại các ký hiệu của Bài tập 5.

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n\geqslant 1$ tồn tại một phủ $(E_n, p_n)$ của P, có bậc $n$, sao cho $p^{-1}_n(C_n)$ là liên thông.

b) Cho E là hợp rời nhau của các $E_n$ và cho $f: E\rightarrow C\times \mathbf{N}$ là ánh xạ chính tắc. Chứng minh rằng $(E, f)$ là một phủ của $P\times \mathbf{N}$, rằng ánh xạ pr$_1$ làm cho $P\times \mathbf{N}$ trở thành một phủ của P, nhưng $(E$, pr$_1\circ f)$ không phải là một phủ của P.

c) Cho $P^+$ và $P^-$ là các tập hợp các điểm $(x, y)$ của P thỏa mãn lần lượt $y\geqslant 0$ và $y\leqslant 0$. Bây giờ chứng minh rằng $E|P^+$ là một phủ tầm thường của $P^+$ và rằng $E|P^-$ là một phủ tầm thường của $P^-$.