Exercice 6, § 4

On reprend les notations de l’exercice 5.

a) Démontrer qu’il existe pour tout entier $n\geqslant 1$ un revêtement $(E_n, p_n)$ de P, de degré $n$, tel que $p^{-1}_n(C_n)$ soit connexe.

b) Soit E la réunion disjointe des $E_n$ et soit $f: E\rightarrow C\times \mathbf{N}$ l’application canonique. Démontrer que $(E, f)$ est un revêtement de $P\times \mathbf{N}$, que l’application pr$_1$ fait de $P\times \mathbf{N}$ un revêtement de P, mais que $(E$, pr$_1\circ f)$ n’est pas un revêtement de P.

c) Soient $P^+$ et $P^-$ les ensembles des points $(x, y)$ de P vérifiant $y\geqslant 0$ et $y\leqslant 0$ respectivement. Montrer que $E|P^+$ est un revêtement trivial de $P^+$ et que $E|P^-$ est un revêtement trivial de $P^-$.